Über metrisch homogene Räume. (Q1441957)

Verf. suchen notwendige Bedingungen dafür, daß\ ein metrischer Raum eine transitive Gruppe von Isometrien zuläßt. Sie gehen dabei von einer Betrachtung aus, die mit dem \textit{Schreier}schen Beweis der Kommutativität der Fundamentalgruppe einer Gruppenmannigfaltigkeit (F. d. M. 51, 112 (JFM 51.0112.*); 53, 110) eng verwandt ist: Führt man vermöge der gegebenen Isometrien den Anfangspunkt des geschlossenen Weges \(\alpha\) auf dem geschlossenen Weg \(\beta\) \(\nu\)-mal herum, so erhält man den Weg \(\beta^{-\nu}\alpha \beta^\nu\), der genau so lang wie \(\alpha\) ist. Weiß\ man, daß\ es nur zu endlich vielen Elementen der Fundamentalgruppe Wege einer bestimmten vorgegebenen Länge gibt, so kann man schließen, daß\ \textit{jedes Element der Fundamentalgruppe nur endlich viel Konjugierte besitzt}. Dieses Kriterium verhindert die Existenz transitiver Isometriegruppen z. B. bei den Flächen vom Geschlecht \(\geqq 2\). Bei der exakten Durchführung der obigen Betrachtung hat man zu berücksichtigen, daß\ es nicht ohne weiteres möglich zu sein braucht, den Weg \(\alpha\) stetig herumzuführen, und daß\ die betrachteten Wege nicht rektifizierbar zu sein brauchen. Die erste Schwierigkeit wird dadurch behoben, daß\ der stetige Übergang durch eine Folge beliebig kleiner Sprünge ersetzt wird; der anderen Schwierigkeit entgeht man durch Approximationen der Wege durch Punktketten. Die Verf. zerlegen ihr Resultat in die folgenden beiden Sätze: I. Die Isometrien eines zusammenhängenden, im kleinen kompakten, separablen, metrischen Raumes \(R\) bilden eine im kleinen kompakte, über \(R\) kompakte (d. h. die Gesamtheit der Isometrien, die einen Punkt von \(R\) in eine kompakte Teilmenge von \(R\) überführen, ist eine kompakte Menge) topologische Gruppe. II. Ist \(R\) überdies im kleinen zusammenziehbar (so daß\ also überhaupt von einer Fundamentalgruppe die Rede sein kann) und im kleinen zusammenhängend und existiert eine transitive, über \(R\) kompakte Gruppe topologischer Abbildungen von \(R\) auf sich, so besitzt jedes Element der Fundamentalgruppe von \(R\) nur endlich viel Konjugierte.