A new proof of the Lefschetz formula on invariant points. (Q1441974)

Für eine gewisse Klasse mehrdeutiger Abbildungen einer \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit auf sich hat \textit{S. Lefschetz} die folgende Fixpunktformel bewiesen: \(\gamma_1^i,\gamma_2^i,\dots,\gamma_{p_i}^i\) sei eine Basis der \(i\)dimensionalen Zyklen, und bei der Abbildung \(f\) gelte \[ f (\gamma_j^i)=\sum a_{jk}^i \gamma_k^i +\nu^i, \] wobei \(\nu^i\) einen Zyklus bezeichnet, von dem ein Vielfaches homolog Null ist; ferner sei \(S^if\) die (von der Wahl der Basis unabhängige) Spur der Matrix \(a_{jk}^i\), und die \(j_g\) (\(g=1,2,\dots,m\)) seien die Indices der (als isoliert angenommenen) Fixpunkte; dann gilt \[ \sum_{g=1}^m j_g=(-1)^n \sum_{i=1}^n (-1)^i S^i f. \] Verf. gibt in der vorliegenden Note einen neuen Beweis dieser \textit{Lefschetz}schen Formel; der Gültigkeitsbereich der Formel erfährt bei diesem Beweis einerseits eine Einschränkung, indem von der stetigen Abbildung \(f\) Eindeutigkeit vorausgesetzt wird, andererseits aber eine Erweiterung insofern, als die Abbildung nicht nur auf Mannigfaltigkeiten, sondern auf beliebige Komplexe angewandt werden darf. (Ausführliche Darstellung in Math. Z. 29, 493--524 (1929; JFM 55.0970.02).)