On some properties of one-valued transformations of manifolds. (Q1441976)

\(M^n\) und \(\mu^n\) seien zusammenhängende geschlossene \(n\)-dimensionale Mannigfaltigkeiten mit den Homologiebasen \(c_1^\nu,c_2^\nu,\dots,c_p^\nu\) bzw. \(\gamma_1^\nu,\gamma_2^\nu,\dots,\gamma_{\pi_\nu}^\nu\) (Homologie mod der Gruppe der Nullteiler verstanden). \(M^n\) sei auf \(\mu^n\) durch eine eindeutige stetige Abbildung \(f\) abgebildet; dann besteht eine Beziehung \[ f( c_i^\nu)=\sum a_{ik}^\nu \gamma_k^\nu. \] Beim Übergang zu anderen Homologiebasen erleiden die Matrizen \[ A_\nu=\| a_{ik}^\nu \| \] unimodulare Transformationen, so daß\ Rang und Elementarteiler der \(A_\nu\) Invarianten der Abbildung \(f\) sind. In der vorliegenden Arbeit untersucht Verf. die Bedeutung der Ränge \(r_\nu\) und, im Falle \(p_\nu=\pi_\nu\), der Determinante \(a_\nu=| A_\nu|\) für die Abbildung \(f\); \(a_n=a\) ist der \textit{Brouwer}sche Abbildungsgrad. Mit Hilfe der \textit{Lefschetz}schen Methode der Produktmannigfaltigkeit wird für die Schnittmatrizen \[ L_\nu=\|( c_i^\nu \cdot c_j^{n-\nu}) \|,\;\Lambda_\nu=\|( \gamma_i^\nu \cdot \gamma_j^{n-\nu}) \| \] die Relation \[ (L_{n-\nu}^{-1} A_{n-\nu} \Lambda_{n-\nu} )' A_\nu=a \cdot E_{\pi_\nu} \] bewiesen, in der \(E_{\pi_\nu}\) die Einheitsmatrix bezeichnet und der Strich die Bildung der transponierten Matrix bedeutet. Aus dieser Formel ergibt sich eine Reihe von Sätzen: Wenn der Abbildusgsgrad \(a \neq 0\) ist, so ist \(r_\nu=\pi_\nu\); daraus folgt, daß\ \(M^n\) nur dann mit von Null verschiedenem Grad auf \(\mu^n\) abgebildet werden kann, wenn \(\pi_\nu \leqq p_\nu\) für alle \(\nu\) ist. Im Falle \(a = 0\) ist \[ r_\nu+r_{n-\nu} \leqq p_\nu. \] Für \(p_\nu=\pi_\nu\), also u. a. für Abbildungen einer Mannigfaltigkeit auf sich, ergibt sich ferner \[ a_\nu a_{n-\nu}=a^{p_\nu}. \] Aus dieser Relation in Verbindung mit der \textit{Lefschetz}schen Fixpunktformel folgt z. B. ein Fixpunktsatz für die komplexe projektive Ebene. -- Bei Abbildungen von \(M^n\) auf sich mit \(a \neq 0\) werden die \textit{Kronecker}schen Indices (Schnittzahlen) der Zyklenpaare mit \(a\) multipliziert.