Dimensionstheorie. (Q1441996)

Das vorliegende Werk ist die erste lehrbuchartige Zusammenfassung der Dimensionstheorie jener Richtung, die von \textit{Poincaré} gefordert, von \textit{Brouwer} begründet und von \textit{P. Urysohn}, Verf. und andern ausgebaut worden ist. Das meiste an allgemeiner Theorie, was bei der Abfassung vorlag, ist in dem Buche berücksichtigt worden, und wenn auch inzwischen die Theorie weitere Fortschritte gemacht hat, so erscheint das Buch auch heute noch als ein in sich abgeschlossenes Ganzes. Ungern vermißt man in ihm allerdings die schöne \textit{Urysohn}sche Kurventheorie [Verhandelingen Amsterdam 18, Nr. 4, 172 p. (1928; JFM 54.0619.01)], die in den Rahmen des Werkes doch vielleicht noch hineingepaßt hätte. Mustergültig ist die Disposition des Stoffes zu nennen, und nur die Anordnung der einzelnen Abschnitte sieht etwas unnatürlich aus. Dem ``klassischen Satz von der Dimensionsinvarianz'', dem historischen Fundament der ganzen Theorie, schreibt Verf. keine große Bedeutung zu, und so kommt es, daß\ nicht nur der Rechtfertigungssatz, sondern auch die topologische Invarianz der Dimension bei ihm eine untergeordnete Rolle spielt. Verf. sagt z. B. (S. 243): ``Und es sollte hier kein Vorschub geleistet werden dem aus historischen Gründen (nämlich durch Herübernahme elementargeometrischer Überlegungen in die Punktmengenlehre) entstandenen Vorurteil, daß\ der Invarianz einer Eigenschaft gegenüber einer Transformationsgruppe und insbesondere der topologischen Invarianz einer Eigenschaft eine übermäßige Bedeutung zukomme. Wäre die Dimension nicht topologisch invariant, so würde dies höchstens der Wichtigkeit der topologischen Abbildungen Abbruch tun, die ganze im vorangehenden entwickelte Dimensionstheorie bliebe hierdurch jedoch unberührt.'' Die Darstellung beginnt mit einem Abschnitt ``Einführung in die mengentheoretische Geometrie''; hier wird nach einigen Vorbemerkungen der Begriff des \textit{Hausdorff}schen separablen regulären Raumes eingeführt (daß\ Verf. diese Räume schlechthin separabel nennt, könnte doch wohl, da mit dem üblichen Sprachgebrauch nicht ganz im Einklang stehend, Verwirrung stiften); es werden die Begriffe abgeschlossene Menge, Häufungspunkt, offene Menge, Begrenzung, dicht, perfekt, erste und zweite Kategorie, \(f_\sigma,G_\delta\). Produktraum usw. erklärt. An wichtigen Sätzen ist zu erwähnen: Normalität der betrachteten Räume, Additionssatz für Begrenzungen offener Mengen, Einbettbarkeit der betrachteten Räume in den \textit{Hilbert}schen Raum, das \textit{Brouwer}sche Reduktionstheorem und schließlich eine ganze Reihe von Überdeckungssätzen, die mit der unmittelbaren Verallgemeinerung des \textit{Borel}schen Satzes beginnt und mit den Ausnahmefällen der verallgemeinerten Überdeckbarkeit endet. Wesentlich neu sind hier die Untersuchungen über ``ausgezeichnete Doppelfolgen'' [System \(\{U_n^k\}\) \((k=1,2,\ldots;\;n=1,2,\dots)\) von offenen Mengen derart, daß\ zu jedem Punkt \(p\) und zu jedem \(k\) ein \(n_k\) existiert mit \(p\prec U_{n_k}^k\), und daß\ die \(U_{n_k}^k\) für jede unendliche Folge \(\{n_k\}\) höchstens einen Punkt gemein haben], die sich mit der Auswahl solcher Systeme aus unbegrenzt feinen Überdeckungssätzen beschäftigen. Im zweiten Abschnitt wird der Dimensionsbegriff erst anschaulich und dann exakt eingeführt, und es wird eine Reihe naheliegender Folgerungen gezogen. Der Summensatz, von dem der dritte Abschnitt handelt, wird unter Benutzung eines Gedankens von \textit{Hurewicz} mit der ``Methode der Modifikation der Umgebungen'' [Verf., Acad. Amsterdam Proc. 27, 639--648 (1924; JFM 50.0131.03)] bewiesen, und zwar erst für \(n = 0\) und dann allgemein. Ein zweiter Beweis bringt die einfachere Methode [\textit{W. Hurewicz}, Math. Ann. 96, 736--764 (1926; JFM 53.0559.02)] der Anwendung des Zerspaltungssatzes. Im Anschluß\ daran wird eine Reihe von Folgerungen gezogen, besonders über rationaldimensionale Räume, d. h. \(n\)-dimensionale Räume, die sich als Summe einer abzählbaren und \(n\) anderer nulldimensionaler Mengen darstellen lassen; schließlich wird die \textit{Hurewicz}sche Theorie der Normalbereiche (JFM 53.0559.02) entwickelt. Der vierte Abschnitt, ``Theorie der dimensionellen Raumstruktur'', enthält vom Verf. als Fundamentaltheoreme bezeichnete Sätze über die Dimensionsteile (\(\Re^n\) = Menge der Punkte, in denen \(\Re\) mindestens \(n\)-dimensional ist): Der \(n\)-te Dimensionsteil \(\Re^n\) eines kompakten Raumes ist homogen \(n\)-dimensional, eines beliebigen Raumes mindestens \((n-1)\)-dimensional, seine abgeschlossene Hülle in allen Punkten des Dimensionsteils \(n\)-dimensional, in allen übrigen höchstens \((n-1)\)-dimensional; notwendig und hinreichend dafür, daß\ der höchste Dimensionsteil die Dimension des Raumes hat, ist, daß\ er von zweiter Kategorie ist. Endlich wird das \textit{Sierpiński}sche Beispiel [Fundam. Math. 2, 81--95 (1921; JFM 48.0208.02)] eines eindimensionalen Raumes mit abzählbarem höchstem Dimensionsteil wiedergegeben. Im fünften Abschnitt kommt Verf. zum Zerlegungssatz der Dimensionstheorie, den er gleich in der allgemeinen Form ausspricht: Jeder \(n\)-dimensionale Raum ist Summe von endlich vielen beliebig kleinen Stücken, die zu. je \(k\) einen höchstens \((n-k+1)\)-dimensionalen Durchschnitt haben. Für diesen Satz werden zwei Beweise gegeben, die sich zueinander in bezug auf die verwendete Methode ähnlich verhalten wie die beiden Beweise des Summensatzes. Voraus geht ein Beweis für den Fall \(k=n+2\). Zum Beweise der Umkehrung des Zerlegungssatzes folgt Verf. wesentlich dem \textit{Urysohn}schen Wege [Fundam. Math. 8, 225--351 (1926; JFM 52.0590.01)]. An die Kapitel über den Zerlegungssatz schließ\ t sich eines über die \textit{Alexandroff}sche Definition der kompakten Räume durch Folgen von Komplexen an; von diesem \textit{Alexandroff}schen Gedanken ist ja inzwischen eine wesentliche Fortentwicklung der Dimensionstheorie ausgegangen (vgl. insbesondere [Ann. Math. (2) 36, 1--35 (1935; JFM 61.1361.01)]). Mit Rücksicht auf spätere Anwendungen wird auch der \textit{Hurewicz}sche Additionssatz [Math. Ann. 100, 618--633 (1928; JFM 54.0622.01)] bewiesen. ``Die Zusammenhangseigenschaften der Räume'' ist der sechste Abschnitt des Buches überschrieben. Es geht hier einmal um die Untersuchung der Begriffe diskontinuierlich, zusammenhangslos, total zusammenhangslos, nulldimensional, die sich an den gewöhnlichen Zusammenhangsbegriff anschließen, und der Begriffe \textit{Cantor}sche Mannigfaltigkeit und \(n\)-stufiges Kontinuum, in denen der höherstufige Zusammenhang grundlegend ist. Verf. gibt seinen Beweis für die Aequivalenz seines Charakterisierungstheorems (unter den kompakten Räumen sind die ~dimensionalen dadurch gekennzeichnet, daß\ sie ein \(n\)-stufiges, aber kein \((n+1)\)-stufiges Teilkontinuum enthalten) mit der \textit{Urysohn}schen Vermutung (jeder \(n\)-dimensionale kompakte Raum enthält eine \(n\)-dimensionale \textit{Cantor}sche Mannigfaltigkeit) wieder, desgleichen den von Verf. und \textit{Hurewicz} gemeinsam aufgestellten Beweis des charakterisierungstheorems. Der siebente Abschnitt ``Über stetige Abbildungen'' bringt den Begriff der stetigen und der beiderseits stetigen Abbildung [\textit{Hurewicz}, Proc. Amsterdam 30, 159--165 (1927; JFM 53.0562.01)], den \textit{Hahn-Mazurkiewicz}schen Satz, die \textit{Hurewicz}sche Theorie der dimensionserhöhenden und -erniedrigenden Abbildungen (JFM 53.0562.01) und schließlich den Satz von der Dimensionsinvarianz. Den Rechtfertigungssatz (jedes Gebiet des \(n\)-dimensionalen euklidischen Raumes \(R_n\) ist \(n\)-dimensional im Sinne der Dimensionstheorie) findet man im achten Abschnitt. Er wird einerseits nach \textit{Brouwer-Sperner}, andererseits nach \textit{Lebesgue-Hurewicz} bewiesen. Der Satz, welcher besagt, daß\ jede \(n\)dimensionale Teilmenge des \(R_n\) ein Gebiet enthält, wird erstens nach Verf., zweitens nach \textit{Urysohn} bewiesen. Bei Verf. und \textit{Urysohn} findet sich auch der in diesem Abschnitt enthaltene Satz, daß\ die offenen Mengen des \(R_n\), deren Komplement \((n-1)\)- oder \(n\)-dimensional ist, eine \((n-1)\)dimensionale Begrenzung besitzen. Ferner wird der \textit{Alexandroff}sche Satz von der Deformierbarkeit der kompakten Räume in gleichdimensionale Komplexe wiedergegeben. ``Endlich-dimensionale Räume und Cartesische Räume'' heißt der neunte Abschnitt, der den \textit{Hurewicz}schen Satz von der Einbettbarkeit der endlichdimensionalen Räume in gleichdimensionale kompakte Räume behandelt und für \(n=1\) den inzwischen allgemein durch \textit{G. Nöbeling} [Math. Ann. 104, 71--80 (1930; JFM 56.0506.02)] bewiesenen Satz von der Einbettbarkeit der \(n\)-dimensionalen Räume in den \(R_{2n+1}\) beweist. Im zehnten und letzten Abschnitt gibt Verf. einen Überblick über die behandelten Ideenkreise und über ungelöste Probleme der Dimensionstheorie. Zur Disposition des Stoffes ist noch zu bemerken, daß\ der Gang der Darstellung durch keinerlei Literaturhinweise unterbrochen wird; am Schluß\ der einzelnen Kapitel finden sich die zugehörigen historischen Notizen. Einigen dieser historischen Angaben hat \textit{L. E. J. Brouwer} [Proc. Amsterdam 31, 953--957 (1928; JFM 54.0007.03)] scharf widersprochen. Vgl. auch die inzwischen erschienene Antwort von \textit{Menger} [Monatsh. Math. 37, 175--182 (1930; JFM 56.0006.02)]. Besprechungen: Mathesis 43 (1929), 26-27. P. A. Smith; Bulletin A. M. S. 35 (1929), 868-871.