Über den allgemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehungen zur elementaren geometrischen Anschauung. (Q1441999)

Es wird folgender Satz bewiesen: Jeder kompakte, metrische, \(\lambda\)dimensionale Raum \(F\) kann, für jedes \(\varepsilon>0\), durch eine \(\varepsilon\)-Abbildung auf einen \(\lambda\)-dimensionalen Komplex, aber nicht für jedes \(\varepsilon\) auf einen Komplex niedrigerer Dimensionszahl abgebildet werden; dabei ist eine \(\varepsilon\)-Abbildung eine solche, bei der die Originalmenge jedes Bildpunktes einen Durchmesser hat, der \(<\varepsilon\) ist. Ist \(F\) in den \textit{Hilbert}schen oder einen euklidischen Raum eingebettet, so läß\ t sich derselbe Satz so formulieren: \(F\) läß\ t sich für jedes \(\varepsilon\) in einen \(\lambda\)-dimensionalen, aber nicht für jedes \(\varepsilon\) in einen niedrigerdimensionalen Komplex so deformieren, daß\ dabei kein Punkt um mehr als \(\varepsilon\) verschoben wird. Die sich so ergebenden approximierenden Komplexe sind geometrische Realisationen der früher (Math. Ann. 96 (1926), 429-511; F. d. M. 52) vom Verf. definierten abstrakten Approximationen.