Über Quasikomponenten höherer Ordnung. (Q1442008)

Mittels transfiniter Induktion wird der \textit{Hausdorff}sche Begriff einer Quasikomponente eines Punktes in einer Menge verallgemeinert. Es werden folgende beiden Sätze bewiesen: (1) Zu jedem Punkt \(p\) der (in einem topologischen Raume gelegenen) Punktmenge \(M\) existiert eine Ordinalzahl \(\alpha\), welche man den Rang der Quasikomponentenreihe von \(p\) hinsichtlich \(M\) nennt, von folgender Eigenschaft: Die Quasikomponenten von \(p\) hinsichtlich \(M\), deren Ordnungen kleiner \(\alpha\) sind sind nicht zusammenhängend, und jede von ihnen enthält die folgende als echte Teilmenge. Die Quasikomponente von der Ordnung \(\alpha\) ist die Komponente von \(p\) in \(M\) und ist mit allen Quasikomponenten höherer Ordnung identisch. (2) Die zu zwei verschiedenen Punkten \(p\) und \(q\) gehörigen Quasikomponentenreihen sind dann und nur dann identisch, wenn \(p\) und \(q\) derselben Komponente von \(M\) angehören; ist dies nicht der Fall, so gibt es eine kleinste Ordinalzahl \(\alpha\), für welche die zu \(p\) und \(q\) gehörigen Quasikomponenten \(\alpha\)-ter Ordnung zueinander fremd sind.