Untersuchungen über allgemeine Metrik. (Q1442010)

Die Arbeit besteht aus drei Untersuchungen über die allgemeinen metrischen Räume im Sinne von \textit{Fréchet}, wobei die Metrik als selbständiges Untersuchungsobjekt betrachtet wird, im Gegensatz zur vorherrschenden Tendenz, die allgemeine Metrik nur als Hilfsmittel bei topologischen Untersuchungen aufzufassen. Die erste Untersuchung bringt eine Theorie der \textit{Konvexität}, mit der folgenden Definition als Ausgangspunkt: Ein Raum heiß\ t konvex, wenn es zu je zweien seiner Punkte \(a\) und \(b\) einen dritten Punkt \(c\) mit der Eigenschaft: \[ ab=ac+bc \] (unter \(ab\) allgemein den Abstand zwischen den Punkten \(a, b\) verstanden) gibt, so daß\ also für diese drei Punkte der äußerste Fall der ``Dreiecksungleichung'' vorliegt. In konvexen vollständigen Räumen kann man zwischen je zwei Punkten \(a\) und \(b\) \textit{geodätische Bögen} definieren, als abgeschlossene Mengen, welche \(a\) und \(b\) enthalten und mit der Strecke von der Länge ab kongruent sind. Unter allen einfachen Bögen zwischen \(a\) und \(b\) sind die geodätischen durch ihre kleinstmögliche Länge charakterisiert. Es folgen einige Aussagen über die Verteilung der metrisch singulären Punkte in konvexen Räumen. Weiter wird dargelegt, wie man durch Spezialisierung der konvexen Räume zu Gebilden gelangt, in denen im Einklang mit elementargeometrischen Axiomen je zwei Punkte eine ``Gerade'' bestimmen, die ihrerseits durch je zwei auf ihr gelegene Punkte bestimmt wird. Die zweite Untersuchung beschäftigt sich vorwiegend mit der Frage: Wann ist ein metrischer Raum mit einer Teilmenge des Euklidischen \(n\)-dimensionalen Raumes \(R_n\) kongruent? Die Lösung gelingt durch Zurückführung der Frage auf Einbettung von Systemen aus endlich-vielen Punkten. Es gilt nämlich: Damit der Raum \(\Re\) in den \(R_n\) metrisch einbettbar sei, ist, falls \(\Re\) mehr als \(n+3\) Punkte enthält, notwendig und hinreichend, daß\ jedes System aus je \(n+2\) Punkten von \(\Re\) in \(R_n\) einbettbar sei (für Räume, die aus genau \(n+3\) Punkten bestehen, tritt ein interessanter Ausnahmefall ein), und die Einbettung von \(n+2\) Punkten läß\ t sich weiter auf die Einbettung von \(n+1\) Punkten zurückführen. Als Endresultat stellt sich heraus: Notwendig und hinreichend für die Einbettbarkeit des aus mehr als \(n+3\) Punkten bestehenden Raumes \(\Re\) in den Euklidischen \(R_n\) ist die Gültigkeit der folgenden Bedingungen: \[ \begin{aligned} &\text{Für je }n+2\text{ Punkte von }\Re { gilt } D(p_1,\dots,p_{n+2})=0;\\ &\text{für je} k \text{ Punkte von }\Re\;(k \leqq n+2) \text{ gilt}:\\ &\text{sgn }D\; (p_1,\dots,p_k)=\text{sgn}(-1)^{k-1}.\end{aligned} \] Dabei bedeutet \(D(p_1,\dots,p_m)\) die \((n+1)\)-reihige Determinante: \[ \begin{vmatrix} \l\quad & \l\quad & \l\quad & \l\quad & \l\\ 0 & 1 & 1 & \cdot & 1 \\ 1 & 0 & (p_1p_2)^2 & \cdot & (p_1p_{n+1})^2 \\ 1 & (p_2p_1)^2 & 0 & \cdot & (p_2p_{n+1})^2 \\ \cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\ 1 & (p_{n+1}p_1)^2 & (p_{n+1}p_2)^2 & \cdot & 0 \end{vmatrix}. \] Die dritte Untersuchung enthält einen Entwurf für die Theorie der \(n\)dimensionalen Metrik und ist als Vorstudie zu späteren Untersuchungen gedacht, denen es auch vorbehalten bleibt, eine \(n\)-dimensionale Metrik in Übereinstimmung mit den aufgestellten allgemeineren Forderungen tatsächlich einzuführen.