Separation theorems and their relation to recent developments in analysis situs. (Q1442021)

Die Arbeit ist ein Bericht über Resultate, die sich auf die Zerlegung einer zusammenhängenden Punktmenge durch ihre Teilmengen beziehen. Besonders berücksichtigt werden die Fälle, wo die zerlegten und die zerlegenden Mengen Kontinua in der Ebene sind. In einem ersten einleitenden Teil werden die verschiedenen Begriffe des Zusammenhangs und der Trennung erklärt und ihr gegenseitiges Verhältnis durch Beispiele erläutert. Der zweite Teil handelt von der Zerlegung der Ebene durch eine stetige Kurve. Es wird berichtet (1) über den Jordanschen Satz, seine Umkehrung (Schoenflies), seine Übertragung auf offene Kurven (R. L. Moore, Kline) und seine mehrdimensionale Verallgemeinerung (Brouwer, Veblen, Alexander); (2) über die Zerlegung der Ebene durch eine beliebige stetige Kurve (Schoenflies, Whyburn, R. L. Moore); (3) über die Frage, wann die Grenze eines Gebietes eine stetige Kurve, insbesondere eine einfach geschlossene Kurve ist (Carathéodory, R. L. Moore, Widler, Whyburn); (4) über die Trennung gegebener Punktmengen durch einfach geschlossene Kurven (Zoretti, R. L. Moore, Lubben). Im dritten Teil wird die Zerlegung der Ebene durch Kontinua und durch die Summe von Kontinuen behandelt: (1) unzerlegbare Kontinua (Brouwer); (2) die bezüglich der Zerlegungseigenschaft irreduziblen Bestandteile eines Kontinuums, (Kuratowski, Knaster); (3) Zerlegungseigenschaften eines Kontinuums, das durch gewisse seiner Teilmengen nicht zerlegt wird (Kline, Kuratowski, Wilder, R. L. Moore); (4) Bedingungen, unter denen eine Summe von Kontinuen die Ebene nicht zerlegt (Brouwer-Phragménscher Satz und Verallgemeinerungen von Mazurkiewicz, Straszewicz, Mullikin, Gehman); eine Verallgemeinerung auf \(n\) Dimensionen (Alexandroff); (5) Bedingungen, unter denen die Summe zweier Kontinua die Ebene zerlegt (Janiszewski, Mullikin, Straszewicz, Rosenthal, Wilson) und Verallgemeinerungen auf den dreidimensionalen Raum (Mazurkiewicz, Straszewicz, Kline). Die auf (4) und (5) bezüglichen neueren Resultate Alexandroffs für den \(n\)dimensionalen Raum konnten nur noch in einer Fußnote berüchsichtigt werden. Im vierten Teil wird kurz auf die Bedeutung des Trennungsbegriffes für die Dimensionstheorie von Urysohn und Menger hingewiesen. Der fünfte Teil enthält eine ausführliche Darstellung der zahlreichen Untersuchungen über die Zerlegung eines ebenen Kontinuums durch eine seiner Teilmengen: (1) Zerlegung durch einen Punkt: a. Bedingungen für die Existenz eines Zerschneidungspunktes, b. Eigenschaften der Menge aller Zerschneidungspunkte, c. Charakterisierung verschiedener Kurventypen durch Eigenschaften ihrer Zerschneidungspunkte: (2) Zerlegung durch Punktepaare und Mengen von endlich vielen Punkten; (3) die Mengersche Kurventheorie; (4) Zerlegung durch endlich oder abzählbar viele Kontinua; (5) Zerlegung nicht abgeschlossener zusammenhängender Mengen durch zusammenhängende Teilmengen. Die Arbeit schließt mit einem Ausblick auf weitere, noch unerledigte Probleme.