Un théorème sur le balayage. (Q1442041)

Mit Hilfe einiger von \textit{T. Waźewski} (1923; F. d. M. 49, 145 (JFM 49.0145.*). 1924; F. d. M. 50, 373) stammenden Sätze wird der folgende Satz bewiesen: Wird in der Ebene \(P\) jedem Punkt \(c\) der geschlossenen einfachen Kurve \(C\) ein beschränktes, \(P\) nicht zerlegendes, von \(c\) stetig anhängendes Kontinuum \(K(c)\) zugeordnet, das \(c\) und einen willkürlichen festen Punkt \(p\) in \(P\) enthält, so gehört jeder Punkt des Innern von \(C\) mindestens einem \(K(c)\) an (l'intérieur est totalement ``balayé'' par \(K(c)\)). Es wird die Notwendigkeit jeder der Voraussetzungen an einem Beispiel bewiesen und der Satz auf die Kugeloberfläche übertragen, auf der er für mindestens eines der beiden Gebiete gilt, in das die Kugel durch die geschlossene einfache Kurve \(C\) zerlegt wird. Schließlich wird die Aussage über das Innere der in der Ebene \(P\) gelegenen geschlossenen einfachen Kurve \(C\) auch bewiesen, wenn jedes \(K(c)\) eine geschlossene einfache Kurve ist, die von \(c\) stetig abhält, und wenn \(p\) ein fester Punkt des Äußeren von \(C\) ist und im Inneren jedes \(K(c)\) liegt. Dieser letztere Satz bedeutet die Verallgemeinerung eines kürzlich von \textit{F. Leja} (1927; F. d. M. 53, 555 (JFM 53.0555.*)) bewiesenen Satzes. Die stetige Abhängigkeit des Kontinuums \(K(c)\) von \(C\) wird mit Hilfe des \textit{Hausdorff}schen Begriffs der Entfernung zweier Punktmengen formuliert.