Concerning Menger regular curves. (Q1442050)

Die Begriffe ``regulärer Punkt'' eines Kontinuums, ``reguläre Kurve'', ``Ordnung eines Punktes'' sind im \textit{Menger}schen Sinn zu verstehen (\textit{Menger}, Math. Ann. 95 (1925), 276-306; F. d. M. 51). Dagegen bezeichnet ``stetige Kurve'' ein im Kleinen zusammenhängendes Kontinuum. Die Resultate gelten für beschränkte Kurven im \(n\)-dimensionalen euklidischen Raum. Ein Randpunkt \(P\) einer Punktmenge \(R\) heiß\ t von \(R\) aus regulär erreichbar, wenn es zu jeder positiven Zahl \(\varepsilon\) eine positive Zahl \(\delta\) gibt, so daß\ alle in einer \(\delta\)-Umgebung von \(P\) gelegenen Punkte von \(R\) durch einen bis auf den Endpunkt \(P\) zu \(R\) gehörigen Bogen in einer \(\varepsilon\)-Umgebung von \(P\) mit \(P\) verbindbar sind. Wenn ein Häufungspunkt \(P\) von \(R\) von \(R\) aus nicht regulär erreichbar ist, so gibt es eine positive Zahl \(d\) und eine gegen \(P\) konvergierende Folge von Punkten aus \(R\) von der Eigenschaft, daß\ keine zwei Punkte der Folge durch einen in \(R\) verlaufenden Bogen verbunden werden können, dessen Durchmesser kleiner als \(d\) ist. Dieser Satz bildet das wichtigste Hilfsmittel bei allen Erreichbarkeitsbeweisen der vorliegenden Arbeit. Jeder reguläre Punkt \(P\) eines Kontinuums \(M\) ist regulär erreichbar von jedem Komplementärgebiet von \(M\), zu dessen Grenze er gehört. Im euklidischen Raum von mindesten drei Dimensionen ist jeder Punkt \(P\), in dem das Kontinuum \(M\) eindimensional ist, von jedem Komplementärgebiet von \(M\), zu dessen Grenze er gehört, regulär erreichbar. In der Ebene folgt aus der regulären Erreichbarkeit aller Punkte von \(M\) von der Komplementärmenge von \(M\) aus, daß\ das Kontinuum M eine stetige Kurve ist. Eine stetige Kurve \(M\) heiß\ t ein Baum im Kleinen im Punkte \(P\), wenn es zu jeder positiven Zahl \(d\) eine zusammenhängende, relativ \(M\) offene Teilmenge \(U\) von \(M\) gibt, die eine \(P\) enthaltende Baumkurve ist, und deren Durchmesser kleiner als \(d\) ist. \(M\) ist ein Baum im Kleinen, wenn \(M\) in jedem Punkte diese Eigenschaft hat. -- Ist \(P\) ein Punkt, in dem \(M\) kein Baum im Kleinen ist, so gibt es in jeder Umgebung von \(P\) eine zu \(M\) gehörige einfach geschlossene Kurve. Enthält die Kurve \(M\) keine unendliche Menge paarweise fremder, einfach geschlossener Kurven, so ist \(M\) eine reguläre Kurve, die in allen Punkten mit endlich vielen Ausnahmen ein Baum im Kleinen ist. Ist kleine in der Ebene \(S\) nirgends dichte stetige Kurve, so ist die Eigenschaft. keine unendliche Menge von paarweise fremden einfach geschlossenen Kurven zu enthalten, gleichbedeutend damit, daß\ jeder Punkt von \(M\) von \(S-M\) aus regulär erreichbar ist. In diesem Falle ist die Menge der Punkte von \(M\), in denen \(M\) kein Baum im Kleinen ist, identisch mit der Grenzmenge (dem oberen abgeschlossenen Limes im \textit{Hausdorff}schen Sinn) der Menge der Komplementärgebiete von \(M\). Ein regulärer Punkt \(n\)-ter Ordnung einer ebenen stetigen Kurve \(M\) gehört zur Grenze von höchstens \(n\) Komplementärgebieten von \(M\). Ein Verzweigungspunkt \(P\) einer stetigen Kurve \(M\) ist ein Punkt, von dem wenigstens drei zu \(M\) gehörige einfache Bögen ausgehen, die bis auf den Endpunkt \(P\) zueinander fremd sind. Jeder nicht reguläre Punkt \(P\) von \(M\) ist ein Verzweigungspunkt von \(M\); und zwar gibt es für jede ganze Zahl \(n\) einen Punkt \(Q\) von \(M\), der mit \(P\) durch \(n\) bis auf die Endpunkte zueinander fremde einfache Bögen in \(M\) verbunden werden kann. -- Wenn die Menge aller Verzweigungspunkte einer stetigen Kurve \(M\) kein Kontinuum enthält, ist \(M\) eine reguläre Kurve. Wenn ein Kontinuum \(M\) durch jede seiner abzählbaren Teilmengen zerlegt wird, ist \(M\) eine reguläre Kurve, die nur endlich viele einfach geschlossene Kurven enthält; es gibt dann immer ein Punktepaar, daß\ \(M\) zerlegt. Jede zusammenhängende Teilmenge einer regulären Kurve ist zusammenhängend im Kleinen. Für zyklisch zusammenhängende Kurven lassen sich weitergehende Aussagen machen. Ist \(P\) ein regulärer Punkt wachsender Ordnung für eine zyklisch zusammenhängende Kurve \(K\), so ist \(M\) in \(P\) kein Baum im Kleinen. \(M\) enthält dann in jeder Umgebung von \(P\) unendlich viele einfach geschlossene Kurven (die aber nicht zueinander fremd zu sein brauchen). Enthält \(M\) unendlich viele Punkte dieser Art, so gibt es in \(M\) unendlich viele paarweise fremde einfach geschlossene Kurven. Wenn es umgekehrt in \(M\) keinen regulären Punkt wachsender Ordnung und keine unendliche Menge paarweise fremder, einfach geschlossener Kurven gibt, so ist \(M\) ein Baum im Kleinen. -- Für zyklische Kurven sind folgende Eigenschaften äquivalent: (1) \(M\) enthält nur endlich viele einfach geschlossene Kurven; (2) \(M\) ist ein Baum im Kleinen; (3) \(M\) hat nur endlich viele Verzweigungspunkte. Dann und nur dann gibt es für eine zyklisch zusammenhängende Kurve \(M\) eine Zahl \(k\) derart, daß\ \(M\) durch je \(k\) ihrer Punkte zerlegt wird, wenn \(M\) die Summe endlich vieler einfacher Bögen ist, von denen keine zwei einen Punkt gemeinsam haben, der für beide innerer Punkt ist. Aus den Eigenschaften der maximalen zyklischen Kurven einer stetigen Kurve läß\ t sich häufig auf die entsprechende Eigenschaft von \(M\) selbst schließen. Das gilt z. B. für die Regularität und für die Eigenschaft, als Summe endlich vieler Kontinua darstellbar zu sein, von denen je zwei höchstens einen Punkt gemeinsam haben, und deren Durchmesser kleiner sind als eine beliebige positive Zahl; ebenso für die Abzählbarkeit der Menge der Verzweigungspunkte. Es bestehen noch weitere Beziehungen zwischen der Struktur der maximalen zyklischen Kurven von \(M\) und der Anzahl der Verzweigungspunkte von \(M\). -- Besitzt jede maximale zyklische Kurve von \(M\) nur endlich viele Verzweigungspunkte, so ist jede zusammenhängende Teilmenge von \(M\) bogenweise zusammenhängend.