On certain acccessible points of plane continua. (Q1442051)

\(M\) sei ein Kontinuum in der Ebene, \(G\) eine abzählbare Menge paarweise fremder zusammenhängender Punktmengen von \(S-M\). Grundlegend für die Untersuchungen der vorliegenden Arbeit ist die Eigenschaft eines Punktes von \(M\), von wenigstens zwei Mengen von \(G\) erreichbar zu sein; diese Eigenschaft werde zur Abkürzung mit \({\mathfrak E}_2(G)\) bezeichnet. \(K\) sei die Menge aller Punkte von \(M\), die \(M\) nicht zerlegen und die Eigenschaft \({\mathfrak E}_2(G)\) besitzen, \(H\) eine nicht abzählbare Teilmenge von \(K\). Dann gibt es immer eine Zerlegung von \(M\) in zwei Teilkontinua, \(M=N+L\), von folgender Eigenschaft: \(LN\) besteht aus zwei Punkten von \(H\); \(N\) enthält eine nicht abzählbare Teilmenge \(E\) von \(H\), deren sämtliche Punkte Zerschneidungspunkte von \(N\) sind und von zwei passend gewählten Mengen \(R_1, R_2\) von \(G\) erreichbar sind. Von besonderem Interesse ist dieser Satz für den Fall, wo \(G\) die Menge der Komplementärgebiete von \(M\) ist, die im folgenden mit \(C\) bezeichnet werden möge. -- Die Punkte von \(M\), die die Eigenschaft \({\mathfrak E}_2(C)\) besitzen, sind bis auf höchstens abzählbar viele Ausnahmen Punkte der Ordnung 2 (im \textit{Menger}schen Sinne). Es gibt in \(M\) keine nicht abzählbare Menge paarweise fremder Teilkontinua, deren jedes einen Punkt von der Eigenschaft \({\mathfrak E}_2(C)\) enthält. \(a\) und \(b\) seien zwei Punkte von \(M\), die einzeln \(M\) nicht zerlegen; dann und nur dann wird \(M\) durch \(a + b\) zerlegt, wenn \(a\) und \(b\) beide von zwei Komplementärgebieten \(R_1,R_2\) von \(M\) erreichbar sind. Ist allgemeiner \(K\) irgendeine irreduzible Zerschneidungsmenge von \(M\) (vgl. die Arbeit des Verf. in Proceedings USA Academy 14 (1928), 657-666; F. d. M. 54, 633 (JFM 54.0633.*)), deren sämtliche Komponenten beschränkt sind, so hat jeder isolierte Punkt von \(K\) die Eigenschaft \({\mathfrak E}_2(C)\). Bis auf höchstens abzählbar viele Ausnahmen sind alle Punkte von \(M\), die einer endlichen irreduziblen Zerschneidungsmenge angehören, Punkte der Ordnung 2. Dann und nur dann enthält ein Teilkontinuum \(N\) von \(M\) eine nicht abzählbare Menge von zueinander fremden Punktepaaren, die \(M\) zerlegen, wenn \(N\) nicht abzählbar viele Punkte enthält, die entweder Zerschneidungspunkte von \(M\) sind oder die Eigenschaft \({\mathfrak E}_2(C)\) haben. Wenn jedes Teilkontinuum von \(M\) eine nicht abzählbare Menge paarweise fremder Zerschneidungsmengen von \(M\) enthält, so ist jedes Teilkontinuum von \(M\) eine stetige Kurve. Sind überdies alle diese Zerschneidungsmengen abzählbar, so enthält jedes Teilkontinuum von \(M\) eine nicht abzählbare Menge zueinander fremder Punktepaare, die \(M\) zerlegen; \(M\) ist dann eine (im \textit{Menger}schen Sinne) reguläre Kurve. Jedes Teilkontinuum von \(M\) enthalte ein Teilkontinuum \(N\) von der Eigenschaft, daß\ für eine passend gewählte positive Zahl \(d\) jedes Teilkontinuum von \(N\) einen Punkt mit der Eigenschaft \({\mathfrak E}_2(C_d)\) enthält, wobei \(C_d\) die Menge derjenigen Komplementärgebiete von \(M\) bezeichnet, deren Durchmesser größer als \(d\) ist; dann ist \(M\) eine stetige und (im \textit{Menger}schen Sinn) reguläre Kurve, und jedes Teilkontinuum von \(M\) enthält einen Bogen, der zur gemeinsamen Grenze zweier Komplementärgebiete von \(M\) gehört. -- Für \(N=M\) gibt der erste Teil des Satzes eine Bedingung dafür an, daß\ das Kontinuum \(M\) eine stetige Kurve sei.