On continuous curves in \(n\) dimensions. (Q1442052)

\textit{R. L. Moore} (Fundamenta 7 (1925), 302-307; F. d. M. 51) hat bewiesen, daß\ ein ebenes Kontinuum \(M\) dann und nur dann eine stetige Kurve ist, wenn je zwei Punkte \(a,b\) von \(M\) in \(M\) durch eine Teilmenge \(N\) von \(M\) voneinander getrennt werden können, die Summe endlich vieler Teilkontinua von \(M\) ist. Die Verf. zeigen an einem Beispiel, daß\ diese Bedingung für Kontinua im \(n\)dimensionalen Raum nicht hinreichend ist. Dagegen ist jede der beiden folgenden Bedingungen notwendig und hinreichend dafür, daß\ ein Kontinuum \(M\) im \(n\)dimensionalen euklidischen Raum eine stetige Kurve sei: (1) Je zwei Punkte \(a\), \(b\) von \(M\) können in \(M\) durch eine Teilmenge \(N\) von \(M\) voneinander getrennt werden, die Summe endlich vieler stetiger Kurven von \(M\) ist. (2) Je zwei abgeschlossene, beschränkte, zueinander fremde Mengen von \(M\) können in \(M\) durch eine Teilmenge \(N\) von \(M\) voneinander getrennt werden, die Summe endlich vieler Teilkontinua von \(M\) ist. -- Die in der Bedingung (1) auftretenden Teilkurven von \(M\) können als beschränkt angenommen werden. \(M\) ist dann und nur dann eine im \textit{Menger}schen Sinne reguläre Kurve (\textit{Menger}, Math. Arm. 95 (1925), 276-306; F. d. M. 51), wenn je zwei Punkte von \(M\) in \(M\) durch eine endliche Teilmenge von \(M\) voneinander getrennt werden können. Daraus folgt dann von selbst, daß\ auch je zwei abgeschlossene, beschränkte, zueinander fremde Teilmengen von \(M\) durch eine endliche Teilmenge von \(M\) voneinander getrennt werden können.