On bounded regular frontiers in the plane. (Q1442070)

Die vorliegende Arbeit enthält Verallgemeinerungen der Resultate von \textit{A. Rosenthal} (1919; F. d. M. 47, 523 (JFM 47.0523.*)-524) über die Zerlegung der Ebene durch irreduzible Kontinua. Als Hauptresultate sind die folgenden Sätze hervorzuheben: Dann und nur dann ist ein beschränktes zerlegbares Kontinuum \(F\) in der Ebene die gemeinsame Grenze von genau \(n\) Komponenten seines Komplements, wenn \(F\) die Vereinigungsmenge zweier Kontinua \(H\) und \(K\) ist, so daß\ \(H \cdot K\) die Summe von \(n\), aber von keiner größeren endlichen Anzahl von abgeschlossenen Mengen ist, derart daß\ \(H\) und \(K\) zwischen jedem Paar dieser Mengen irreduzible Kontinua sind. Dann und nur dann ist das beschränkte unzerlegbare Kontinuum \(F\) in der Ebene die Grenze von unendlich vielen Komponenten seines Komplements, wenn \(F\) die Vereinigungsmenge zweier Kontinua \(H\) und \(K\) ist, so daß\ \(H \cdot K\) für jede ganze Zahl \(n\) die Summe von \(n\) abgeschlossenen Mengen ist. derart, daß\ \(H\) und \(K\) zwischen jedem Paar dieser Mengen irreduzible Kontinua sind. In beiden Sätzen ist die Aussage ``\(H\) ist ein. irreduzibles Kontinuum zwischen den Mengen \(A\) und \(B\)'' so zu verstehen, daß\ \(H\) ein irreduzibles Kontinuum zwischen jedem Punktepaar ist, dessen einer Punkt zu \(H \cdot A\), dessen anderer Punkt zu \(H \cdot B\) gehört. Die Arbeit schließ\ t mit zwei Beispielen, die zeigen, daß\ die beiden angegebenen Sätze nicht wesentlich vereinfacht werden können: Man kann \(H\) und \(K\) so bestimmen, daß\ \(H \cdot K\) Vereinigungsmenge von unendlich vielen abgeschlossenen Mengen ist und \(H\) und \(K\) zwischen jedem Paar dieser Mengen irreduzibel sind, während doch \(F=H+K\) nur die Grenze zweier Komponenten oder sogar keiner Komponente des Komplemente von \(F\) ist.