Einige Sätze in der Kugelgeometrie und ihre Anwendung. (Q1442094)

Für den folgenden von \textit{Cooldige} herrührenden Satz aus der Kugelgeometrie werden ein rein geometrischer Beweis und die Ausdehnung auf \(n\) Dimensionen gegeben: Werden die fünf Punkte 1,2,3,4,5 auf einer Kugel angenommen, und wird durch jedes der Punktetripel 1,2,3; 2,3,4; 3,4,5; 4,5,1; 5,1,2 eine Kugel gelegt, die der Reihe nach mit \((123),\dots,(512)\) bezeichnet werden möge, so liegen die fünf Schnittpunkte von je drei dieser Kugeln: \[ \begin{aligned} 1' = (451) &(512) (123),\;2' = (512) (123) (234),\;3' (123) (234) (345),\\ &4' = (234) (345) (451),\;5' = (345) (451) (512)\end{aligned} \] selbst wieder auf einer Kugel. Als Folgerungen ergeben sich einige Sätze aus der Kugel- und Liniengeometrie.