The norm of a space configuration. (Q1442227)

In einer früheren Abhandlung (1927; F. d. M. 53, 605 (JFM 53.0605.*)) hat Verf. folgendes Theorem behandelt; Sind \(2n\) Punkte der Ebene in geordneter Reihenfolge durch die komplexen Zahlen \(x_k(k=1,2,\dots,2n)\) gegeben, \(\overline{x}_k\) als konjugierte Werte, ist dabei \(A\) der Inhalt des geordneten \(2n\)-Ecks, \(\varepsilon\) eine primitive \(n\)-te Einheitswurzel, und ist die Norm \(N\) definiert durch \[ 2N=\frac 12(\delta_{12}^2-\delta_{23}^2+\cdots +\delta_{2n-1,2n}^2 \delta_{2n,1}^2),\;\delta_{ij}=| x_i-x_j|, \] so ist \[ 2(N+iA)=\sum_{k=1}^n \overline{x}_{2k}(x_{2k-1}-x_{2k+1})=\left( \frac 1n \right) \sum_{i=1}^{n-1} (1-\varepsilon^{n-i})v_i \overline{u}_i. \] Hierin bedeuten: \[ v_i=\sum_{k=0}^{n-1} \varepsilon^{ik} x_{2k+1},\;\overline{u}_i=\sum_{k=0}^{n-1} \varepsilon^{i(n-k)} \overline{x}_{2(k+1)} \;(i=1,2,\dots,n-1) \] \textit{Lagrange}-Resolventen. Die Untersuchung dieses Theorems und einiger mit ihm zusammenhängender Sätze wird jetzt im dreidimensionalen Raume in Angriff genommen.