Sui moduli delle curve poligonale, e sopra un complemento al teorema di esistenza di Riemann. (Q1442306)

Eine algebraische Kurve ist \(\nu\)-gonal, wenn sie mindestens eine \(g_\nu^1\) und keine unendliche, lineare Serie von niedrigerem Grad als dem \(\nu\)-ten enthält. So sind z. B. die rationalen Kurven 1-gonal und die hyperelliptischen 2-gonal. Auf einer Kurve vom Geschlecht \(p\) existiert immer eine \(g_\nu^1\), wenn \(\nu \geqq \frac p2+1\) ist. Eine \(\nu\)-gonale Kurve hat also nur dann besondere Moduln, wenn \(\nu<\frac p2+1\) ist. Die Anzahl \(N\) dieser Moduln ist nach \textit{Severi} gleich \(3p-3-i\), worin \(i\) der Index ist, der angibt, von welcher Art die Doppelserie der \(g_\nu^1\) ist. Für \(\nu=2\) ist die Anzahl der Moduln \(2p1\) und für \(\nu=3\) gleich \(2p+1\). Für beliebiges \(\nu\) ergibt sich ohne weiteres die oben angegebene Anzahl. Es wird gezeigt, daß\ in diesem Falle die \(\nu\)-gonalen Kurven vom Geschlecht \(p>1\) (wobei \(\nu<\frac p2+1\) ist) von \(N=2p+2\nu-5\) Moduln abhängen. Der zweite Teil enthält die Bestimmung der ebenen \(\nu\)-gonalen Kurven von niedrigstem Grade, auf denen die \(g_\nu^1\) von den Geraden eines Bündels ausgeschnitten wird. Die sich ergebende Bedingung ist eine projektive Vervollständigung des \textit{Riemann}schen Existenztheorems.