Apolar triads associated with the nodal cubic. (Q1442336)

Eine ebene Kurve dritter Ordnung \(C_3\) mit Doppelpunkt sei in der Parameterdarstellung \(x=6t^2, y=6t,z=-(1+t^3)\) gegeben; dann bilden drei ihrer Punkte ein apolares Dreieck der Kurve, wenn ihre Parameterwerte Wurzeln einer Gleichung \(t^2+3pt^2+3qt+pq=0\) sind. In der vorliegenden Arbeit wird eine Reihe bemerkenswerter Sätze über die \(C_3\) und ihre apolaren Dreiecke abgeleitet wie der folgende: Sind \(x, y, z\) und \(a, b, c\) zwei apolare Dreiecke, dann bilden die sechsten Schnittpunkte der \(C_3\) mit den durch die Punktquintupel \(xyzab,xyzbc,xyzca\) gelegten Kegelschnitten ein apolares Dreieck. Oder: Ein Kegelschnittbüschel mit den Grundpunkten auf der \(C_3\) schneidet aus ihr bekanntlich eine Involution von Punktpaaren aus, die aus der \(C_3\) auch durch ein Strahlenbüschel ausgeschnitten wird, dessen Scheitel in einem Punkte der \(C_3\) liegt; die Kegelschnittbüschel mit den Grundpunktsystemen \(xyza,xyzb,xyzc\) liefern so drei Strahlenbüschelscheitel \(d, d', d''\), und diese drei Punkte bilden ein apolares Dreieck. Anschließend werden die Betrachtungen auf die oskulierenden Kegelschnitte der \(C_3\) ausgedehnt.