Über Striktionsgebilde. (Q1442388)

\textit{Chasles} (1839) gibt für den Striktionspunkt \(S\) auf einer Erzeugenden \(K\) einer \textit{Regelschar} \(R.F\) zwei Erklärungen. Einmal betrachtet er auf \(h\) irgend zwei Punkte mit orthogonalen Tangentialebenen; ist dann der eine der beiden Punkte uneigentlich, so heiß\ t der andere Striktionspunkt. Andererseits ist dieser Punkt der Fußpunkt der kürzesten Entfernung \(\delta\) zwischen \(h\) und einer benachbarten Erzeugenden. Indessen erweist sich die zweite Definition als die wesentlich weiterreichende. So versagt die erstere für die Tangentenfläche, und im imaginären Gebiet für alle aus Minimalgeraden \(h\) bestehenden \(R\cdot F\), während beidemal die letzte Definition auch dann noch einen Sinn behält. Historisch hat man sich meist an die erste Definition gehalten, wodurch eine Reihe unrichtiger Angaben über Striktionegebilde entstanden ist. Im folgenden wird daher die letzte Definition zugrunde gelegt. Dies gibt dem Verf. Veranlassung, das ganze Gebiet von Neuem zu bearbeiten, wobei alle möglichen Sonder- und Ausnahmefälle, die durch das Auftreten von Minimalgeraden und Minimalebenen entstehen können, berücksichtigt werden. An Stelle der \textit{Plücker}schen Linienkoordinaten, die sich weniger eignen, wenn außer Geraden auch noch Punkte und Ebenen zu bestimmen sind, werden Vektoren verwendet. Zunächst wird die gemeinsame Normale zweier Geraden analytisch festgelegt. Hierbei werden insbesondere die Ausnahmefälle diskutiert, wo eine solche Normale nicht bestimmt existiert. Es folgt die Darstellung der Geraden selbst, und der aus ihnen zu bildenden analytischen Regelscharen \(R.F\). Für letztere sind die Komponenten der beiden Grundvektoren \(x, y\) gegeben als eindeutige analytische Funktionen eines komplexen Parameters \(u\) mit gemeinsamem Regularitätsbereich \(\{u\}\). In diesem Bereiche stelle man eine Folge \(u_1,u_2,\dots\) von Stellen her, die gegen \(u_0\) konvergiert, derart, daß\ für jedes Paar \(\{ u_0,u_n\}\) von Erzeugenden \(h\) der Schar bestimmte gemeinsame Normalen existieren. Für jede solche \(u\)-Folge konvergiert die Folge der \(n\) gegen eine Grenzlage \(s\), die ``Striktionsgerade'' an der Stelle \(u_0\). Die Gesamtheit der \(s\) bildet eine analytische Regelschar, die ``Striktionsschar''. Die Folge der \(s\)-Fußpunkte konvergiert gegen eine Grenzlage, den ``Striktionspunkt'' \(s\) auf \(u_0\). Die \(S\) erfüllen (abgesehen vom Falle des Kegels) eine ``analytische Striktionslinie'' \(C\). Diese Kurve wird systematisch untersucht, erst für den ``allgemeinen Fall'', sodann für eine Reihe von Sonderfällen. Hierbei ergibt sich im besonderen unter anderem, daß\ die Striktionsregelfläche einer Kugel ihr Asymptotenkegel ist, und die Striktionskurve eines einschaligen Drehhyperboloids ein Kreis. Weiter wird auf eine Konstruktion des Striktionspunktes eingegangen (die eventuell auch versagen kann). Es folgt die Lösung der Aufgabe, alle Regelflächen mit vorgegebener Striktionskurve zu finden. Die beiden erforderlichen Differentialgleichungen werden jeweils für die verschiedenen Fälle integriert. Es kommen folgende Fälle in Betracht: Die Striktionskurve ist eine reguläre Raumkurve oder eine krumme Kurve in einer anisotropen Ebene; eine krumme Minimalkurve; eine krumme Kurve in einer Minimalebene; eine anisotrope Gerade; endlich eine isotrope Gerade. Hinsichtlich der Ordnung der Striktionskurve einer algebraischen Regelfläche sei der merkwürdige Satz erwähnt, daß\ es solche (windschiefen, reellen) Flächen beliebig hoher Ordnung gibt, deren Striktionskurve eine (reelle, anisotrope) Gerade ist.