Extensions of a set of theorems in circle geometry. (Q1442423)

In dieser Arbeit wird folgende Kette von Sätzen aufgestellt und bewiesen: (1) Es seien \(I\) und \(J\) zwei feste Punkte des dreidimensionalen Raumes. Durch diese beiden Punkte und \textit{vier} Ebenen ist eine kubische Raumkurve \(\Gamma\), eine quadratische Fläche \(Q\) (4) und eine Gerade \(L\) (4) vermöge der Forderungen bestimmt, daß\ \(\Gamma\) durch \(I, J\) und die Ecken des Tetraeders der vier Ebenen hindurchgeht, \(Q\) (4) sowohl die Kurve \(\Gamma\) als ihre Tangenten in \(I\) und \(J\) enthält, und \(L\) (4) den Schnitt der Schmiegungsebenen von \(\Gamma\) in \(I\) und \(J\) (welche zugleich Tangentialebenen von \(Q\) (4) in diesen Punkten sind) darstellt. (II) Greift man aus fünf Ebenen auf alle möglichen Arten vier heraus, so erhält man nach (I) fünf Geraden \(L\) (4) und fünf Flächen \(Q\) (4). Die fünf Geraden liegen auf einer quadratischen Fläche \(Q\) (5) durch \(I\) und \(J\), und die fünf Flächen haben eine kubische Raumkurve gemein. Die Tangentialebenen an \(Q\) (5) in \(I\) und \(J\) schneiden sich in der Geraden \(L\) (5). (III) \textit{Sechs} Ebenen ergeben dann sechs Geraden \(L\) (5) und sechs Flächen \(Q\) (5). Die Geraden liegen auf einer quadratischen Fläche \(Q\) (6) durch \(I\) und \(J\), und die Flächen haben eine kubische Raumkurve gemein. Die Tangentialebenen an \(Q\) (6) in \(I\) und \(J\) schneiden sich in \(L\) (6) und so fort. Diese Satzkette ist aufs engste verbunden mit der zuerst von \textit{Pesci} (1890; F. d. M. 22, 579 (JFM 22.0579.*)) aufgestellten, welche mit dem \textit{Steiner}schen Satz beginnt, daß\ die Umkreismittelpunkte der vier von vier Geraden gebildeten Dreiecke auf einem Kreise liegen. Die projektive Form der \textit{Pesci}schen Kette, bei der die Kreise der Ebene ersetzt sind durch die zwei feste Punkte derselben enthaltenden Kegelschnitte, geht nämlich aus obiger Kette hervor, wenn man alles mit einer durch \(I\) und \(J\) gelegten Ebene zum Schnitt bringt. Nachdem eine an die \textit{Pesci}sche Kette anknüpfende Vermutung als unrichtig nachgewiesen ist, wird das Theorem von \textit{Kühne} (vgl. den Encyklopädieartikel III C 7 von \textit{Segre}, S. 807, Anmerkung 122) gestreift und gezeigt, daß\ der zweite Teil desselben falsch ist, worauf zuerst \textit{Baker} (1924; F. d. M. 50, 410 (JFM 50.0410.*)) aufmerksam gemacht hat. Zum Schluß\ wird auch noch ein räumliches Analogon der Satzkette von \textit{Clifford} (Mathematical papers, London 1882, p. 51) angegeben, welche in anderer Weise durch \textit{P. P. White} (1925; F. d. M. 51) eine Erweiterung erfahren hat. Dabei sind drei feste Punkte und eine Ebene mit einer variablen Zahl von in ihr liegenden Geraden gegeben. Durch Projektion von einem der festen Punkte auf die Ebene entsteht wieder die \textit{Clifford}sche Kette. Der nicht vollständig durchgeführte Beweis ist, wie Verf. selbst bemerkt, dem \textit{White}schen nachgebildet.