Sobre algunas representaciones reales del plano complejo. (Q1442442)

Nach \textit{C. Segre} (1892; F. d. M. 24, 640 (JFM 24.0640.*)) kann man zwischen den komplexen Punkten einer projektiven Ebene \(\Pi\) und den reellen Punkten einer \textit{Segre}schen Mannigfaltigkeit \(V_4^6\) des \(R_8\) eine ausnahmslos eineindeutige Beziehung herstellen. Legt man in \(\Pi\) projektive Koordinaten \(x_1,x_2,x_3\) und in \(R_8\) projektive Koordinaten \(X_{11}, X_{22}, X_{33}, X_{12}, X_{13}, X_{23}, X_{12}^*, X_{13}^*,X_{23}^*\) zugrunde, so wird die \(V_4^6\) folgendermaßen dargestellt: \[ (1)\quad \begin{matrix} \varrho X_{11}=x_1^{\prime 2}+x_1^{\prime\prime 2}, & \varrho X_{12}=x_1'x_2'+x_1'' x_2'', & \varrho X_{12}^*=x_1'x_2'-x_1''x_2'', \\ \varrho X_{22}=x_2^{\prime 2}+x_2^{\prime\prime 2}, & \varrho X_{13}=x_1'x_3'+x_1'' x_3'', & \varrho X_{13}^*=x_1'x_3'-x_1''x_3'', \\ \varrho X_{33}=x_3^{\prime 2}+x_3^{\prime\prime 2}, & \varrho X_{23}=x_2'x_3'+x_2'' x_3'', & \varrho X_{23}^*=x_2'x_3'-x_2''x_3'', \end{matrix} \] wo \(\varrho\) einen Proportionalitätsfaktor bedeutet. Will man nicht-homogene Koordinaten benutzen, so setze man \[ (2)\quad \begin{matrix} & x=\frac{x_1}{x_3}, & y=\frac{x_2}{x_3}, \\ \xi_1=\frac{X_{12}}{X_{33}}, & \xi_2=\frac{X_{12}^*}{X_{33}}, & \xi_3=\frac{X_{23}}{X_{33}}, & \xi_4=\frac{X_{23}^*}{X_{33}}, \\ \xi_5=\frac{X_{11}}{X_{33}}, & \xi_6=\frac{X_{22}}{X_{33}}, & \xi_7=\frac{X_{12}}{X_{33}}, & \xi_8=\frac{X_{12}^*}{X_{32}}; \end{matrix} \] dann nehmen die Gleichungen (1) folgende Form an: \[ (3)\quad \begin{matrix}\l\quad & \l\quad & \l\quad & \l\\ \xi_1=x', & \xi_2=x'', & \xi_3=y', & \xi_4=y'', \\ \xi_5=x^{\prime 2}+x^{\prime\prime 2}, & \xi_6=y^{\prime 2}+y^{\prime\prime 2}, & \xi_7=x'y'+x''y'', & \xi_8=x''y'-x'y''. \end{matrix} \] Man kann sagen, daß\ diese Darstellung die einfachste der genannten Art ist; sie entspricht der bekannten Darstellung der komplexen Veränderlichen über den Punkten einer Kugel. Die ``konjugierte'' Transformation in \(\Pi\) (bei derselben betrachtet man als entsprechend die Punkte \(a' \pm ia''\)) wird durch eine involutorische Abbildung von \(V_4^6\) auf sich selbst dargestellt, welche in einer harmonischen Homologie von \(R_8\) enthalten ist. Daraus folgt die Darstellung der ``Antikollineationen'', und diese führt auf die \textit{Veronese}sche \(V_2^4\) des \(R_5\), welche man bekanntlich wie folgt darstellen kann: \[ \varrho X_{hk}=x_h'x_k' \;(h,k=1,2,3). \] Dieselben Betrachtungen werden auf andere Fragen angewandt; der Kürze wegen seien nur diejenigen zitiert, welche die analytischen Kurven und die analytischen Transformationen von \(\Pi\) in sich selbst betreffen.