The 8-tangent hyperquadrics of Noether's canonical curve for \(p=5\). (Q1442448)

Die Abhandlung gilt der Normalkurve vom Geschlecht \(p\), das ist der \(C^{2p2}\) von der Ordnung \(2p-2\) im \((p-1)\)-dimensionalen Raum \(S_{p-1}\). Die ebene Normalkurve \(C^4\) vom Geschlecht 3 läß\ t bekanntlich 63 Systeme von viermal berührenden Kegelschnitten zu; die Kegelschnitte jedes Systems sind die konischen Polaren der Punkte eines festen Kegelschnittes für eine feste Kurve dritter Ordnung. In naturgemäßer Weiterführung dieser Betrachtung haben \textit{Roth} und der Verf. die Flächen zweiter Ordnung behandelt, welche die Normalkurve \(C^6\) vom Geschlecht 4 des \(S_3\) in 6 Punkten berühren. Mit dem Analogon im Falle \(p = 5\) beschäftigen sich die vorliegenden Ausführungen. Die Normalkurve \(C^8\), vom Verf. mit \(\Gamma\) bezeichnet, liegt im \(S_4\) und ist der Schnitt von drei quadratischen Überflächen. Die quadratischen Überflächen, welche \(\Gamma\) in 8 Punkten berühren, werden in Systeme derart zusammengefaßt, daß\ zwei der Flächen dann zum gleichen System gehören, wenn ihre 16 Berührungspunkte auf einer quadratischen Überfläche liegen, welcher nicht enthält. Jedem solchen System läß\ t sich eine Überfläche vierter Ordnung \(\varPhi\) zuordnen, welche \(\Gamma\) zur Doppelkurve und außerdem 5 konische Doppelpunkte hat. \(\Phi\) ist das Umhüllungsgebilde von Überflächen zweiter Ordnung, die selbst reziprok sind zu einer Überfläche zweiter Ordnung \(\Sigma\) bezüglich der Überflächen zweiter Ordnung eines Büschels \(SS'\). Die Polarebenen der Punkte von \(\Phi\) bezüglich \(SS'\) schneiden \(\Sigma\) in Geradenpaaren; für die Punkte von \(\Gamma\) fallen die Geraden der Paare zusammen. Durch Polaritäten werden nun aus den Geraden von \(\Sigma\) konische Überflächen zweiter Ordnung gefunden, welche \(\Gamma\) in 8 Punkten berühren. Von diesen konischen Überflächen und ihren Umhüllungsgebilden, Überflächen vierter Ordnung, die \(\Gamma\) enthalten, handelt der Rest der inhaltsreichen Abhandlung.