Sur l'équation aux dérivées fonctionnelles partielles relative à l'aire d'une surface minima limitée à une courbe gauche et sur la recherche de ses solutions homogènes. (Q1442571)

Verf. behandelt die Theorie der Minimalflächen mit Methoden der Funktionalanalysis, insbesondere im Anschluß\ an eine Arbeit von \textit{Paul Lévy} (Sur l'intégration des équations aux dérivées fonctionnelles partielles, 1914; F. d. M. 45, 548 (JFM 45.0548.*)). Sei \(C\) eine geschlossene Kontur, dargestellt durch die periodischen Funktionen \(x, y, z\) der Bogenlänge \(s\). Verf. betrachtet Funktionale \(\Sigma\), die von geschlossenen Konturen abhängen und gewisse Stetigkeits- und Differenzierbarkeitseigenschaften besitzen. Da \(\Sigma\) bei Deformation der geschlossenen Kontur \(C\) in sich ungeändert bleibt, muß \[ (1)\quad \Sigma_x'dx+ \Sigma_y'dy+\Sigma_z'dz=0 \] erfüllt sein. Aus weiteren allgemeinen Forderungen, die \(\Sigma\) als Flächeninhalt kennzeichnen, folgt \[ (2)\quad \Sigma_x^{\prime 2}+\Sigma_y^{\prime 2}+\Sigma_z^{\prime 2}=1. \] Der erste Teil der Arbeit ist dem Studium dieser partiellen funktionalen Differentialgleichung gewidmet. Es wird gezeigt, daß\ sie vollständig integrierbar ist. Die ``charakteristischen Flächen'' von (2) erweisen sich im allgemeinen als Minimalflächen (die benutzte Schlußweise versagt bei gewissen Konturen, die als ``singulär'' beiseite gelassen werden). Es folgt unter anderem eine Ausdehnung der verwendeten Methoden auf allgemeinere Probleme. Im zweiten Teil wird die betrachtete Funktionaiklasse weiterhin eingeengt durch Einführung der ``Homogenitätsforderung'', die aus der Forderung entspringt, daß\ sich \(\Sigma\) bei Anwendung einer Affinität auf \(C\) wie ein Flächeninhalt transformieren soll. Es folgt nun die Herleitung einer Reihe klassischer Ergebnisse. Schließlich wird ein Verfahren gegeben, aus der Lösung des \textit{Plateau}schen Problems für eine spezielle Kontur \(C\) durch eine Reihenentwicklung formal die Lösung für eine Kontur \(C\) herzuleiten, die aus \(C\) durch Deformation hervorgeht; jedoch werden hier Konvergenzfragen beiseite gelassen. (IV 7.)