Riemannian null-geometry. (Q1442670)

Die Verf. verstehen unter ``Nullflächen'' \((n-1)\)-dimensionale Hyperflächen \(V_{n-1}\) eines \textit{Riemann}schen \(n\)-dimensionalen Raumes \(V_n\), deren Tangentialraum in jedem Punkte gleichzeitig Tangentialraum des vom gleichen Punkte ausstrahlenden Kegels isotroper Richtungen ist. Die Untersuchung ist mithin auf die sogenannten einfachisotropen Hypertorsen der \(V_n\) beschränkt. Die Möglichkeit höherer Ausartungen des metrischen Fundamentaltensors der \(V_{n-1}\) insbesondere den von \textit{Lense} eingehend behandelten ametrischen (totalisotropen) Fall, für welchen die Komponentenmatrix des Fundamentaltensors der \(V_{n-1}\) den Rang Null hat, lassen die Verf. unberücksichtigt. Aus Realitätsgründen wird der einbettenden Mannigfaltigkeit \(V_n\) eine indefinite Maßbestimmung zugeschrieben. Zunächst werden die Berührungsmöglichkeiten \((n-1)\)-dimensionaler, ebener und gekrümmter Mannigfaltigkeiten und Hyperkegel in regulären und in sogenannten Doppelpunkten untersucht. Von besonderem Interesse ist der Inhalt von \S\,4: Die Differentialgleichungen der isotropen Kurven sind von der ersten, die der geodätischen Linien von zweiter Ordnung; gleichwohl sind die isotropen Kurven einer gewöhnlichen Fläche des euklidischen dreidimensionalen Raumes immer geodätische Linien der Fläche. Diese Verhältnisse ändern sich jedoch bei Übergang zu höheren Dimensionen, wo die ``geodätischen Nullinien'' eine besondere Klasse isotroper Kurven auf der \(V_{n-1}\) \((n-1>2)\) darstellen. Die kovariante Ableitung des Tangentialvektors einer solchen geodätischen Nullinie ist im allgemeinen zu diesen proportional, verschwindet jedoch innerhalb einer ausgezeichneten Parametergruppe, analog wie die entsprechende kovariante Ableitung bei gewöhnlichen geodätischen Kurven für die Gruppe der ganzen linearen Transformationen des Bogens als ausgezeichneten Parameters verschwindet. Doch sind diese ausgezeichneten Parameter keine Verallgemeinerung des \textit{Study-Vessiot}schen natürlichen Parameters der isotropen Kurven des gewöhnlichen Raumes. Im folgenden wird der endliche isotrope Kegel als spezielle ``Nullfläche'' behandelt und die Bedingung untersucht, unter welcher eine Schar geodätischer Nullinien eine Nullfläche bilden. Schneidet man eine \((n-2)\)-parametrige Kongruenz geodätischer Nullinien mit einer \(V_{n-2}\), so bildet diese Kongruenz eine ``Nullfläche'', wenn in jedem Punkt der \(V_{n-2}\) eine gewisse quadratische Bedingung erfüllt ist. Umgekehrt lassen sich im allgemeinen durch eine \(V_{n2}\) der \(V_n\) stets zwei Nullflächen legen. Ein zweiter Abschnitt der Arbeit bringt eine Anwendung der entwickelten geometrischen Theorie auf die relativistische Optik. Es handelt sich vor allem um die geometrische Einkleidung und Formulierung der Reflexions- und Brechungsgesetze des Lichtes an bewegten Flächen im vierdimensionalen \textit{Riemann}schen Raum-Zeit-Kontinuum mit besonderer Berücksichtigung des Falles stationärer Gravitationsfelder. (VII 2.)