Zur relativen Differentialgeometrie. IV: Ein Vierscheitelsatz bei geschlossenen Raumkurven. (Q1442704)

Es wird eine relative Differentialgeometrie der Raumkurven in folgender Weise entwickelt. Einer Raumkurve \(\mathfrak x\) wird eine Bildkurve auf der konvexen ``Eichfläche'' \(\mathfrak e\) so zugeordnet, daß\ die Hauptnormale eines Punktes von \(\mathfrak x\) der Flächennormalen im Bildpunkt parallel ist. Jedem Punkt von \(\mathfrak x\) wird ein Dreibein zugeordnet, dessen Vektoren \(\xi_1\) bzw. \(\xi_2\) parallel der Tangente bzw. der Hauptnormalen von \(\mathfrak x\) sind. \(\xi_3\) ist senkrecht zu \(\xi_2\) und ``relativnormal'' zu \(\xi_1\); d. h. die Richtungen \(\xi_1\) und \(\xi_2\) (die ja parallel zur Tangentialebene von \(\mathfrak e\) im Bildpunkt sind) sind konjugiert in bezug auf \(\mathfrak e\). Nach Einführung einer ``Relativlänge'' und passender Normierung der \(\xi_i\) werden die Analoga der \textit{Frenet}schen Formeln hergeleitet. ``Relativeben'' sind die Kurven mit konstantem \(\xi_2\). Sie sind auf die Bildkurve durch parallele Tangenten bezogen. Dies gestattet die Einführung einer ``Relativkrümmung'' für solche Kurven. Ein \(R\)-Scheitel ist eine Stelle stationärer Relativkrümmung. Eine relativebene geschlossene Raumkurve, bei der sich durch je zwei ihrer Punkte eine Ebene legen läßt, die sie sonst nicht trifft, besitzt mindestens vier \(R\)-Scheitel. Dies wird im Anschluß\ an den \textit{Herglotz}schen Beweis des ebenen Vierscheitelsatzes bewiesen.