Affinrotationshyperflächen. (Q1442710)

Das affingeometrische Gegenstück der Normalen einer Fläche sind die Affinnormalen, d. h. mit der Fläche invariant verknüpfte Vektoren, welche bis auf einen numerischen Faktor durch den zweiten \textit{Beltrami}schen Differentiator \(\Delta {\mathfrak x}\) gegeben sind, wo \(\mathfrak x\) den die Fläche beschreibenden Vektor bedeutet. Im Raum von \(n+1\) Dimensionen erhält man dafür den Ausdruck \({\mathfrak x}_{ik}G^{ik}\) (\({\mathfrak x}_{ik}\) = zweite kovariante Ableitung des Vektors \(\mathfrak x\), \(G^{ik}\) kontravariante Komponenten der zugehörigen ersten Grundform). Unter eigentlichen oder uneigentlichen Affinrotationshyperflächen (A. R. H.) versteht Verf. naturgemäß\ Hyperflächen, deren Affinnormalen sämtlich eine feste eigentliche oder uneigentliche Gerade treffen, unter Ausschluß\ von Hypertorsen. Die vorliegende Arbeit behandelt vor allem die affingeometrisch-mehrdimensionale Verallgemeinerung der Meridiankurven und ``Breitensphären''. Die Meridiankurven ergeben sich wie im zweidimensionalen Falle als Schnitte des zweidimensionalen Ebenenbüschels, dessen Träger die feste Achse der A. R. H. bildet. In diesen Ebenen liegen definitionsgemäß\ sämtliche Affinnormalen längs der entsprechenden Meridiankurve, welche daher Affinkrümmungslinie der A. R. H. ist. Die ``Breitenmannigfaltigkeiten'' der A. R. H sind eigentliche oder uneigentliche (\(n-1\)-dimensionale Affinhypersphären, je nachdem die A. R. H. eigentlich oder uneigentlich sind. Alle Richtungen dieser Breitenmannigfaltigkeiten sind Affinkrümmungsrichtungen. Für die rechnerische Behandlung empfiehlt es sich \(n-1\) linear unabhängige reelle Affinkrümmungslinien, welche von einem Punkt einer Breitenmannigfaltigkeit ausgehen, ergänzt durch die Meridianaffinkrümmungslinie durch denselben Punkt, als Parameterkurven zugrundezulegen. Längs diesem (konjugierten) Netz gelten die Formeln von \textit{O. Rodrigues} wodurch die analytische Behandlung wesentlich gefördert wird. Für eigentliche sowie uneigentliche A. R. H. ergeben sich zwei Fallunterscheidungen, je nachdem die A. R. H. eigentliche oder uneigentliche \(n\)-dimensionale Affinhypersphäre ist oder nicht. Der Fall eigentlicher A. R. H., welche nicht Affinhypersphären sind, zeigt mehrfache Analogien zum Verhalten eigentlicher zweidimensionaler Affinrotationsflächen Der Fall eigentlicher bzw. uneigentlicher \(n\)dimensionaler Affinhypersphären zeigt keine Besonderheit und wird nicht eigens behandelt. Auch eine weitere Verallgemeinerung welche für mehrdimensionale ``Achsen'' denkbar wäre, läß\ t Verf. außer Betracht.