Drei Vorlesungen über adiabatische Invarianten. (Q1442927)

Im ersten Teile erläutert Verf. zunächst den Begriff der adiabatischen Invarianten. Es sei \[ (1)\quad \frac{dx_\nu}{dt}=X_\nu(x_1,\dots,x_n;a_1,\dots,a_r) \;(\nu=1,\dots,n) \] ein \textit{Liouville}sches Differentialsystem, dessen Divergenz also \[ \sum_{\nu=1}^n \frac{\partial X_\nu}{\partial x_\nu}=0 \] ist, und in dem die \(a\) Parameter bedeuten. Denkt man sich seine Integrale in der Form \[ F_i(x_1,\dots,x_n;a_1,\dots,a_r)=c_i \] hingeschrieben und im großen betrachtet, so werden im allgemeinen nur gewisse unter ihnen, etwa \(j\), endlich vieldeutig sein; man nennt dann \(j\) die Imprimitivitätsordnung des Systems. Verf. betrachtet zunächst die einfachimprimitiven Systeme und macht die Quasiergodenvoraussetzung, daß\ fast alle Integralkurven die Integralfläche \(F=c\) dicht erfüllen. Ändern sich die Parameter \(a\) mit \(t\), so ändert sich \(c\) nach der Gleichung \[ d_ac=d_aF. \] Ist die Änderung der \(a\) sehr langsam, so kann man auf der rechten Seite die \(c\) als konstant ansehen und \(d_aF\) durch seinen zeitlichen Mittelwert (bezüglich \(t\)) über den unendlichen Zeitraum ersetzen, wodurch man die Differentialgleichung \[ (2)\quad d_ac=\widetilde{d_aF} \] für \(c,a_1,\dots,a_r\) erhält; ihre Lösung heiß\ t die adiabatische Invariante von (1). Vermöge der Qussiergodenhypothese läß\ t sich das zeitliche Mittel durch ein räumliches Mittel über die Integralfläche ersetzen; für \(n=2\) kann man diese Transformation direkt ausführen. Dabei geht (2) in folgende Gleichung über \[ (3)\quad d_ac=\int_\sigma d_aF \frac{d \sigma}{G}: \int_\sigma \frac{d \sigma}{G},\;G^2=\sum \left( \frac{\partial F}{\partial x_\nu} \right)^2, \] wo \(d \sigma\) das Element der Integralfläche \(\sigma\) bedeutet. Der Hauptsatz, der auf \textit{Gibbs} und \textit{Hertz} zurückgeht, ist nun der, daß\ (3) unbeschränkt integrabel ist, und zwar ist das von \(\sigma\) eingeschlossene Volumen die adiabatische Invariante. Im besonderen wendet nun Verf. diesen Satz auf kanonische Systeme und mechanische Systeme mit einem Freiheitsgrad an, bei denen in kanonischen Variablen \(p, q\) die adiabatische Invariante mit dem \textit{Ehrenfest}schen Phasenintegral \(\oint pdq\) übereinstimmt. Der harmonische Oszillator und das einfache Pendel liefern Beispiele hierzu. Nunmehr wendet sich Verf. zu den mehrfach imprimitiven Systemen und zwar zunächst zu dem \textit{Routh}schen Fall eines kanonischen Systems mit \(m\) zyklischen Koordinaten \(q_1,\dots,q_m\), bei dem also zu dem Energieintegral \(H=E\) noch \(m\) Integrale \(p_\alpha=c_{\alpha 1}\) \((\alpha=1,\dots,m)\) hinzutreten. Reduziert man \(H\) mittels der bekannten Integrale, so erhält man für \(p_{m+1},\dots,p_n;q_{m+1},\dots,q_n\) ein kanonisches System, dessen einziges eindeutiges Integral das Energieintegral ist, und dessen adiabatische Invariante man nach Vorangehendem kennt. Hat man nun ein allgemeines kanonisches System in \(p_1,\dots,p_n;q_1,\dots,q_n\) der Imprimitivitätsordnung \(m + 1\), das außer dem Energieintegral noch weitere \(m\) Integrale der Form \[ (4)\quad F_\alpha(p_1,\dots,p_n;q_1,\dots, q_n;a_1,\dots, a_r)=c_\alpha \;(\alpha=1,\dots,m) \] besitzt, die untereinander in Involution liegen: \[ (F_\alpha,F_\beta) = 0, \] so könnte man nach \textit{Lie} formal die \(F_\alpha\) als neue Impulse \(P_\alpha\) einführen und zu einem neuen kanonischen System in \(P_\alpha,Q_\alpha\) übergehen, das vom \textit{Routh}schen Typus ist. Aber der lokale Charakter des \textit{Lie}schen Satzes und die Tatsache, daß\ \textit{m+1} adiabatische Invarianten gefunden werden müssen, veranlassen Verf., einen anderen Weg einzuschlagen. Löst man die \(F_\alpha\) nach \(p_1,\ldots,p_m\) in der Form \[ p_\alpha=f_\alpha(p_{m+1},\dots,p_n; q_1,\dots,q_n;a_1,\dots, a_r; c_1,\dots, c_m) \] auf, und substituiert in \(H\), so wird \[ {\mathfrak H}(p_{m+1},\dots,p_n| q| c\mid a) \] die reduzierte charakteristische Funktion des Systems, und es gelten die Involutionen \[ (5)\quad (p_\alpha-f_\alpha,p_\beta-f_\beta)=0;\;({\mathfrak H},p_\alpha f_\alpha)=0. \] Für \(p_{m+1},\dots,p_n;q_{m+1},\dots,q_n\) erhält man das Differentialsystem \[ (6)\quad \begin{matrix} dp_i=-\frac{\partial {\mathfrak H}}{\partial q_i} dt +\sum_\alpha \frac{\partial f_\alpha}{\partial q_i}dq_\alpha, \\ dq_i=\frac{\partial {\mathfrak H}}{\partial p_i} dt -\sum_\alpha \frac{\partial f_\alpha}{\partial p_i}dq_\alpha, \end{matrix} \;(i=m+1,\dots,n) \] das wegen (5) unbeschränkt integrabel ist, wenn man \(t\) und \(q_\alpha\) als unabhängige Variable auffaßt, und dessen einziges Integral \({\mathfrak H}=E\) ist. Nun sind aber tatsächlich die \(q_\alpha\) vermöge der ursprünglich vorgelegten Gleichungen selbst Funktionen von \(t\); faß\ t man daher \(t\) und \(q_\alpha\) als Funktionen \textit{einer} Variablen \(\lambda\) auf, so erhält man aus (6) wieder ein kanonisches System mit der charakteristischen Funktion \[ K={\mathfrak H}\frac{dt}{d \lambda}-\sum_\alpha f_\alpha \frac{dq_\alpha}{d \lambda}, \] und da es wegen der unbeschränkten Integrabilität auf den Weg der \(q_\alpha\) nicht ankommt, kann man hierin die \(c_i\) und \(q_\alpha\) gleichzeitig als adiabatische Parameter auffassen; d. h. wenn man \(t=\lambda\) setzt, werden die \(\dot q_\alpha\) sehr klein und \(K={\mathfrak H}\), so daß\ das Volumen der Fläche \({\mathfrak H} = E\) die adiabatische Invariante des reduzierten Systems ist Nun sind die Integrale (4) und \(H = E\) gleichberechtigt man kann also jedes von ihnen als Energieintegral auffassen und mittels der andern reduzieren, so daß\ man auf dem eben geschilderten Wege \(m + 1\) adiabatische Invarianten ermittelt. Verf. wendet diese Theorie speziell auf \textit{Stäckel}sche Systeme an und findet daß\ die adiabatischen Invarianten die Phasenintegrale \(\oint p_\mu d q_\mu\) sind, womit der bekannte \textit{Ehrenfest}sche Satz zum ersten Male ohne die erschwerenden Inkommensurabilitätsvoraussetzungen bezüglich der Perioden, die in den früheren Beweisen vorkamen, erwiesen ist. (IV 9, IV 12, VII 1, VII 3.)