Ein Gedankenmodell zur kinetischen Theorie der festen Körper. (Q1443048)

Die Erscheinungen der elastischen Verformung -- neben der linearen Formänderung nach dem \textit{Hooke}schen Gesetz sind das die elastische Hysteresis und die Zeitwirkungen, wie Nachwirkung und Relaxation -- sollen durch ein hinreichend einfaches Gedankenmodell nachgebildet werden, dessen mathematische Behandlung zu Ergebnissen führt, die wenigstens qualitativ die Beobachtung wiedergeben. Dazu führt Verf. einen Mechanismus folgender Art ein: Eine Anzahl von Massenpunkten befindet sich auf einer geraden Linie. Der einzelne Massenpunkt kann sich :nur in Richtung dieser geraden Linie bewegen und ist durch eine Kraft, die linear mit der Entfernung wächst, an eine bestimmte Ruhelage gebunden. Auf alle Massenpunkte zugleich wirkt außerdem ein eingeprägtes Kraftfeld, dessen eingeprägte Kraft, die überall die Richtung der Geraden besitzt, ihrer Größ\ e nach längs der Geraden eine periodische Funktion des Ortes sein und für ein nicht zu großes Stück der Geraden etwa als einfache Sinuswelle gedacht werden soll. Das Kraftfeld ist im Raum fest, während die mit den Massenpunkten besetzte Gerade in ihrer eigenen Richtung gegen das Kraftfeld verschoben werden kann. Hat die Gerade mit den Massenpunkten eine feste Lage gegen das Kraftfeld, so gibt es für jeden Massenpunkt Gleichgewichtslagen, In denen Eigenkraft und Feldkraft einander aufheben, und zwar gibt es bei weicher Bindung der Massenpunkte und einem steilwelligen Kraftfeld unter Umständen mehrere solcher Gleichgewichtslagen. Insbesondere betrachtet Verf. den Fall, daß\ zwei stabile und eine labile Gleichgewichtslage vorliegen. Bei einer Verschiebung der Geraden gegen das Kraftfeld wird nun zunächst jeder Massenpunkt in der Nähe seiner unsprünglichen Gleichsgewichtslage bleiben und bei Rückgängigmachen der Verschiebung in diese zurückgehen (Modell des \textit{Hooke}schen Gesetzes); bei größerer Verschiebung aber kann seine Gleichgewichtslage labil werden, so daß\ er sprunghaft in eine neue stabile Gleichgewichtslage übergeht. Denkt man die Massenpunkte bei Fehlen der eingeprägten Kraft längs der Geraden gleichförmig mit der Dichte 1 verteilt, so hat man bei Einwirkung des Kraftfeldes an den Stellen, denen eine stabile Gleichgewichtslage zugehört, ebenfalls eine Verteilung mit der Dichte 1; an allen den Stellen aber, denen zwei stabile Gleichgewichtslagen zugehören, sind die Massenpunkte mit der Dichte \(\mu\) und \(1-\mu\) auf beide Gleichgewichtslagen verteilt. Die Erscheinungen \textit{Hooke}schen Gesetzes und der \textit{Hysteresis} kommen aus dem Modell so heraus, daß\ man ausgeht von einer Verteilung der Massenpunkte, bei der die Resultierende der Eigenkräfte (die Spannung) gleich Null ist. Verschiebt man die Gerade mit den Massenpunkten im Kraftfeld, so wird die Zahl der Massenpunkte, deren Eigenkraft nach einer Richtung wirkt, größer als die, deren Eigenkräfte in der entgegengesetzten Richtung wirken, und zwar so, daß\ die Resultierende proportional der Verschiebung wächst. Überschreitet aber die Verschiebung eine kritische Größ\ e \(a\), so wächst die Resultierende nicht weiter an, bleibt vielmehr infolge des Umschnappens der Massenpunkte in neue Gleichgewichtslagen ungeändert. Beim Zurückgehen der Verschiebung nimmt die Resultierende sofort ab usw.; kurz man erhält die einfache Hysteresisschleife, und durch Überlagern von Massenpunkten mit härterer und weicherer Bindung kann man auch Hysteresisschleifen komplizierterer Gestalt erzeugen. Um auch die \textit{Zeitwirkungen} zu erfassen, ist zu beachten, daß\ die Massenpunkte nicht in ihren Gleichgewichtslagen ruhen, sondern um diese Gleichgewichtslagen Wärmeschwingungen ausführen. Bei hinreichend großer Energie der Schwingung kann sich der Massenpunkt so weit von der Gleichgewichtslage entfernen, daß\ er in eine andere stabile Gleichgewichtslage umschnappt. Damit erhalten wir eine Änderung der Dichte und somit eine Änderung der Spannung in der Zeit, auch bei festgehaltener Verschiebung (\textit{Nachwirkung} und \textit{Relaxation}). Allgemein ist, da sich \(\mu\) auch mit der Verschiebung ändert, \[ \frac{d \mu}{dt}=\frac{\partial \mu}{\partial t}+\frac{\partial \mu}{\partial x} \frac{d \xi}{dt}, \] unter \(\xi\) die Verschiebung, unter \(x\) die Abszisse im Kraftfelde verstanden. Ist nun Um die mittlere Schwingungsenergie des einzelnen Massenpunktes und \(U_1(x)\) bzw. \(U_2(x)\) die Energie, die erforderlich ist, einen Massenpunkt aus der einen in die andere stabile Gleichgewichtslage zu bringen, so gilt die Differentialgleichung \[ \frac{\partial \mu}{\partial t}+\frac{\partial \mu}{\partial x} \frac{d \xi}{dt}=\frac 1\tau \left\{ (1-\mu)e^{-\frac{U_2}{U_m}}-\mu e^{\frac{U_1}{U_m}} \right\}; \] darin ist \(\frac{d \xi}{dt}=c(t)\) eine gegebene Funktion der Zeit und \(\tau\) eine Konstante von der Größenordnung der Schwingungszeit der Teilchen. Für \(\frac{d \xi}{dt}=0\) erhält man insbesondere die Erscheinungen der Relaxation und Nachwirkung. Nachdem durch Integration der Gleichung \(\mu\) als Funktion von \(x\) und \(t\) bestimmt ist, berechnet Verf. unter bestimmten vereinfachenden Annahmen über \(U_1\) und \(U_2\) den zeitlichen Verlauf der Spannung und kommt zu Gesetzen, die die Beobachtungen qualitativ wiedergeben. Setzt man in der Differentialgleichung \[ \frac{\partial \mu}{\partial t}=0,\quad \frac{d \xi}{dt}=\text{const}=c, \] so erhält man den \textit{Fließvorgang bei konstanter Fließgeschwindigkeit}. Verf. bestimmt bei verschiedenen einfachen Annahmen über \(U_1\) und \(U_2\) jedesmal \(\mu(x)\) und berechnet daraus die Spannung in Abhängigkeit von der Fließgeschwindigkeit, wobei der Fall sehr kleiner Fließgeschwindigkeit eine besondere Betrachtung erfordert. Auch hier hat man gute Übereinstimmung mit den Beobachtungen. Hinsichtlich der Abhängigkeit von der Temperatur (d. h. \(U_m\)) ergibt sich ein kontinuierlicher Übergang vom festen Körper bis zum dünnflüssigen Zustand, und ebenso erhält man die Zähigkeit der Flüssigkeiten qualitativ richtig von Druck und Temperatur abhängig. Die Betrachtung des Falles, daß\ die Fließgeschwindigkeit nicht konstant, sondern eine gegebene Funktion der Zeit ist, wird nach dem Modell allzu kompliziert. Daher zieht Verf. eine rohere Betrachtung heran, indem er die Formänderung als Summe eines elastischen und eines unelastischen Teils annimmt, wobei er die Abhängigkeit des unelastischen Teils von der Spannung aus dem Modell (konstante Fließgeschwindigkeit) entnimmt. Der so entstehende Ansatz ist auch geeignet, die Erscheinung der \textit{Verfestigung}, für deren Darstellung das Modell versagt, qualitativ wiederzugeben, wie im letzten Abschnitt für Stoffe von verschiedenem Verhalten (Zink und Flußeisen) dargelegt wird. Auch zu den Erscheinungen der trockenen Reibung bieten sich Beziehungen dar.