The equation for the transverse vibrations of thin rods. (Q1443071)

\S\,1. Verf. betrachtet die Gleichung der transversalen Schwingungen dünner Stäbe \[ \frac{\partial^4y}{\partial x^4}+\frac{\partial^2y}{\partial t^2}=0 \] unter den Randbedingungen \[ \begin{aligned} \frac{\partial^2y}{\partial x^2}&=\frac{\partial^3y}{\partial x^3}=0 \;\text{für}\;x=0,\\ \frac{\partial y}{\partial x}&=0,\;y=f(t)\;\text{für}\;x=a \;(\text{Stabende}).\end{aligned} \] Die Lösung, die in dem einfachen Falle \[ f(t)=H \sin(pt+\varepsilon) \] besteht, wird verallgemeinert durch Einführung eines Faktors, der eine Funktion von \(s=p^2\) darstellt, und durch Integration nach \(s\) zwischen den Grenzen \(s=0\) und \(s=\infty\). Eine weitere Lösung liefert der polynomische Ansatz \[ y=y_n(x,t)= \] \[ \frac 12 \sum_{s=0}^p \frac{(-1)^s t^{n-2s}}{(n-2s)!(4s)!} \left\{ (x-a)^{4s} +\frac 12(1-i)(x+ia)^{4s}+\frac 12(1+i)(x-ia)^{4s} \right\}, \] wo \(2p\) gleich \(n\) oder \(n - 1\) ist, je nachdem \(n\) gerade oder ungerade ist. Bezeichnet man die Funktion, die man hier für \(x=a\) erhält, mit \(f_n(t)\), so ergibt sich für \(f(t)\) ein allgemeiner Ausdruck mit Hilfe der konvergenten Reihe \[ f(t)=\sum_{n=0}^\infty c_n f_n(t). \] Eine formale Lösung ist dann gegeben durch \[ y=\sum_{n=0}^\infty c_n y_n(x,t). \] \S\,2. \textit{Lord Kelvin}s Methode zur Lösung der Wärmeleitungsgleichung \[ \frac{\partial v}{\partial t}=\frac{\partial^2v}{\partial x^2} \] unter den Randbedingungen \[ v=\varphi(x)\;\text{für}\;t=0 \;\text{und}\;x>0,v=\xi(t)\;\text{für}\;x=0 \;\text{und}\;t>0 \] wird angewendet auf die Gleichung \[ \frac{\partial^4y}{\partial x^4}+\frac{\partial^2y}{\partial t^2}=0 \] und die Randbedingungen \[ \begin{matrix} y=\varphi(x), & \frac{\partial y}{\partial t}=\theta(x) & \text{für} & t=0 & \text{und} & x>0, \\ y=f(t), & \frac{\partial y}{\partial x}=0 & \text{für} & x=0 & \text{und} & t>0,\end{matrix} \] und zwar unter Benutzung einer Modifikation einer Formel von \textit{Fourier} und \textit{Boussinesq}. Die formale Lösung des Problems wird auf die Lösung zweier Integralgleichungen von \textit{Laplace}scher Form zurückgeführt. \S\,3. \textit{Lord Kelvin} hat zwei Umkehrfunktionen aufgestellt in bezug auf die Integralgleichung \[ g(\sigma)=\int_0^\infty e^{-\sigma \tau} h(\tau)d \tau \;(\sigma>0). \] Für \[ g(x)=x^{-\frac 12} \int_0^\infty \begin{matrix} \cos \\ \sin \end{matrix} (m/2x)\chi(m)dm, \] wobei \(\chi(x)\) einer gewissen Funktionenklasse angehört, wird für die Umkehrfunktion \(h(x)\) eine explizite Formel angegeben und diskutiert. In \S\,4 wird diese Formel weiter umgeformt.