Sur le frottement dans les lames et engrenages et dans les trains epicycloïdaux. (Q1443153)

Im Gegensatz zu den üblichen, von Spezialfällen ausgehenden Untersuchungen über ebene Zahnradgetriebe wünscht Verf. eine allgemeine Theorie einzuleiten. Er unterscheidet daher von vornherein nicht zwischen Führungsrad und geführtem Rad, auch nicht zwischen äußerem und innerem Ineinandergreifen der Räder, sondern er behandelt -- als allgemeinen Fall -- das Abrollen (mit und ohne Gleiten) zweier beliebig gestalteter Scheiben aneinander. Es seien gegeben die momentanen Drehachsen durch die Rotationszentren \(O\) und \(O'\) der Scheiben \(S\) und \(S'\), der Berührungspunkt \(M\) mit der gemeinsamen Normale und Tangente, die Reaktionskraft, die die Scheibe \(S\) auf die Scheibe \(S'\) ausübt, und deren Tangentialkomponente \(\Phi\) die Reibungskraft ist, und die Drehmomente \(C\) und \(C'\) der beiden Scheiben. Aus den Gleichgewichtsbedingungen \[ C'+Ny-\Phi x =0 \] bzw. \[ C'-Ny-\Phi x =0 \] folgt \[ C'=\frac{-N}{\cos \theta}[\varrho' \sin(\alpha+\theta)+Z \sin \theta] \] und \[ C=\frac{N}{\cos \theta}[\varrho \sin(\alpha+\theta)+Z \sin \theta], \] wo \(\theta\) durch die Gleichung \(\Phi=N \cdot \text{tg}\theta\) (\(N\)=Normalkomponente der Reaktionskraft) gegeben ist, \(\alpha\) den Winkel zwischen der Normalen und der Verbindungslinie \(OO'\) der beiden Zentren, \(Z\) den Abstand des Schnittpunktes \(I\) dieser beiden Geraden vom Berührungspunkt und \(\varrho\) bzw. \(\varrho'\) den Abstand des gleichen Punktes von den Zentren \(O\) bzw. \(O'\) bedeutet. Das Verhältnis \[ \frac{C'}{C}=-\frac{\varrho' \sin(\alpha+\theta)+Z \sin \theta}{\varrho \sin(\alpha+\theta)+Z \sin \theta} \] ist also nur noch eine Funktion der durch die vier Koordinaten \(Z,\alpha,\varrho,\varrho'\) gegebenen Lage der beiden Rotationszentren in bezug auf das durch die Berührung bestimmte Koordinaten-System. Es gelten die Grenzbedingungen: (1) \(N>0\), damit kein Loslösen, und (2) \(\varphi<\theta<+\varphi\), wo \(\varphi\) der Reibungswinkel ist, damit kein Abgleiten stattfindet. Ist \(G\) die Gleitgeschwindigkeit von \(S'\) auf \(S\), so folgt aus den Beziehungen zu den Winkelgeschwindigkeiten \(\omega\) und \(\omega'\) \[ G=(\omega'-\omega)Z \;\text{und}\;\omega':\omega=\varrho':\varrho, \] da nach (1) \(\theta\) das gleiche Vorzeichen wie \(\Phi\) und somit das entgegengesetzte Zeichen von \(G\) haben muß\, schließlich noch die Ungleichung (3) \(\omega Z \varrho' \theta<0\). Bezeichnet man auch in dem durch die Reibung bedingten Gleichgewichtszustand als werdende Geschwindigkeiten (``vitesses naissantes'') diejenigen Winkelgeschwindigkeiten \(\omega\) bzw. \(\omega'\), die die beiden Scheiben haben würden, wenn der Reibungswinkel \(\varphi\) gleich \(\theta\) wäre, so ergibt sich als Wirkungsgrad des Mechanismus \[ r=\frac{-C' \omega'}{C \omega}=-\frac{C'}{C} \cdot \frac{\varrho}{\varrho'}, \] oder unter Benutzung des oben angegebenen Ausdruckes für \(\frac{C}{C'}\) als Maß\ für die durch die Reibung absorbierte Energie \[ p=1-r=\left( \frac 1\varrho-\frac{1}{\varrho'} \right) \frac{Z \sin \theta}{\sin(\alpha+\theta)+\frac Z \varrho \sin \theta}. \] Da andererseits auch \[ p=-\frac{-\Phi G}{C \omega} \] ist, so folgt, da \(G \Phi<0\) ist, daß\ \(p\) das Vorzeichen von \(C \omega\) besitzt. Ist \(p < 0\), also \(r > 1\), so haben \(C\) und \(\omega\) entgegengesetzte Vorzeichen; die Scheibe \(S\) wird geführt. Ist \(0< p <1\), also \(0< r < 1\), so haben \(C\) und \(\omega\) gleiche Vorzeichen; die Scheibe \(S\) führt. Der Fall, daß\ \(r\) negativ ist, hat für die Praxis keine Bedeutung, denn dann hätten ja \(C \omega\) und \(C' \omega'\) nach der Definitionsgleichung für \(r\) das gleiche und zwar, da \(p<0\), positive Vorzeichen es müßten also beide Scheiben gleichzeitig führen. Die durch obige Formeln gegebenen Beziehungen werden in mehreren Figuren graphisch veranschaulicht und für verschiedene Spezialfälle konvexer und konkaver Scheibenberandungen ausführlich diskutiert. Da \(r\) bei beliebig geformten Scheiben für jede Stellung einen anderen Wert annehmen kann, bestimmt Verf. in einem besonderen Abschnitt für \textit{Kreis}zahnradführungen den mittleren Wirkungsgrad \[ r_m=1-\frac{f \pi}{2} \left( \frac 1n+\frac{1}{n'} \right), \] wo \(f=\text{tg}\varphi\) der Reibungskoeffizient, und \(n\) und \(n'\) die Anzahl der Zähne der beiden Räder ist. Für Scheiben mit kleinen Zähnen ergibt für kleinen Reibungskoeffizienten bei beliebiger Gestalt der Zähne -- ein Näherungsverfahren \[ r_m=1-f \cdot \pi \left( \frac 1n \pm \frac{1}{n'} \right)(2k^2-2k+1), \] wo \(k=\frac 12(1-f \text{cotg}\alpha)\) ist. Das positive Vorzeichen gilt für äußeres, das negative Vorzeichen für inneres Abrollen. In einem letzten Abschnitt werden die für das Abrollen \textit{zweier} Scheiben oder Räder gewonnenen Formeln für kompliziertere Getriebe insbesondere für solche mit zwei Freiheitsgraden, erweitert.