Sur le calcul symbolique de Dirac. (Q1443688)

Bei \textit{Dirac} werden Ausdrücke wie \(X^2 + Y^2 - Z^2\), wo \(X, Y, Z\) \textit{kommutative} Operatoren sind, vermittels \textit{nicht}kommutativer Operatoren \(\alpha,\beta,\gamma\) in Linearfaktoren zerlegt; wählt man z. B. \[ \begin{aligned} \alpha^2&=\beta^2=1,\;\gamma^2=-1,\\ \alpha \beta+\beta \alpha&=\beta \gamma+\gamma \beta=\gamma \alpha+\alpha \gamma=0,\end{aligned} \] so wird \[ X^2+Y^2-Z^2=(\alpha X+\beta Y+\gamma Z)^2. \] Benutzt man diese Identität, um die Gleichung \(X^2+Y^2-Z^2=0\) auf \((\alpha X + \beta Y + \gamma Z)^2=0\) zu reduzieren, so muß\ man allerdings beachten, daß\ ein Produkt verschwinden kann, ohne daß\ ein Faktor verschwindet, so daß\ \(\alpha X+\beta Y+\gamma Z=0\) wohl einige, aber nicht alle Lösungen von \(X^2+Y^2-Z^2=0\) liefert. Verf. bestimmt \(\alpha,\beta,\gamma\) für den Fall, daß\ die Operatoren lineare homogene Substitutionen von \(p\) Variablen \(x_1,\dots,x_p\) sind. Es zeigt sich, daß\ \(p\) gerade sein muß\ . Für \(p = 2\) ist im wesentlichen \(\alpha\) eine Spiegelung an der \(x_1\)-Achse, \(\beta\) eine solche an der Halbierenden des ersten Quadranten, \(\gamma\) eine Vierteldrehung (alle anderen Lösungen entstehen aus diesen durch lineare Transformation). Mit diesen \(\alpha,\beta,\gamma\) kann man z. B. \[ (X^2+Y^2-Z^2)-(U^2+V^2-W^2) \] in ein Produkt zerlegen, indem man jede Klammer durch ein Quadrat ersetzt. -- Bei anderer Zeichenwahl, z. B. \(X^2+Y^2+Z^2\), muß\ man imaginäre Größen einführen. Man kann jedoch, wie an einem Beispiel gezeigt wird, auch das Imaginäre vermeiden, indem man für \(p\) eine größere gerade Zahl nimmt.