Über die Multiplizität der Lösungen der Theorie der Bahnbestimmung der Kometen. (Q1444039)

Im Anschluß\ an seine früheren Publikationen über das Bahnbestimmungsproblem nimmt Verf. die Frage nach den mehrfachen Lösungen für Kometenbahnen auf. Eine kurze historische Einleitung geht der Untersuchung voran. Verf. hält für zweckmäßig, weil die Exzentrizität bei der Parabel als Unbekannte ausscheidet, die Bahnbestimmung auf fünf Beobachtungen (statt auf sechs) zu gründen, indem für die zweite Beobachtung die Breite ausgelassen wird. Der geozentrische Abstand \(\varrho\) wird vorweg eliminiert: in solcher Weise werden fünf Gleichungen der Form \[ \frac{x_\alpha+X_\alpha}{z_\alpha}=\text{ctg} \beta_\alpha \cos \lambda_\alpha=C_\alpha,\;\frac{y_\alpha+Y_\alpha}{z_\alpha}=\text{ctg}\beta_\alpha \sin \lambda_\alpha=S_\alpha \;(\alpha=1,3) \] \[ \frac{y_2+Y_2}{x_2+X_2}=\text{tg} \lambda_2 \] benutzt. Nach der Entwicklung nach Potenzen der Zwischenzeiten und geeigneter Elimination entsteht eine Fundamentalgleichung sechsten Grades \[ k_0r_2^6+k_2r_2^4+k_3r_2^3+k_4r_2^2+k_5r_2+k_6=0, \] die je nach den Vorzeichen der \(k\) nach der \textit{Descartes}schen Zeichenregel zwei positive Wurzeln, in zwei kaum vorkommenden Fällen deren vier besitzt. Eine der zwei Lösungen scheidet dadurch aus, daß\ sie das richtige Vorzeichen von \(\beta_2\) nicht ergibt, wonach also im allgemeinen nur \textit{eine} Parabel möglich ist. Ein Beispiel der Bahnbestimmung wird für Komet 1396 IV, Sperra ausführlicher erläutert. Verf. untersucht nun weiter hin das eventuelle Vorkommen von dreifachen Lösungen, die nur durch Erniedrigung des Grades der Fundamentalgleichung unter gewissen speziellen Bedingungen möglich seien. Das Resultat der Diskussion dieser Frage ist das folgende: Fällt der zweite Kometort mit dem zweiten Sonnenort (oder dessen Gegenpunkt) zusammen, so sind \textit{drei} Parabeln oder nur \textit{eine} möglich, auch in dem Falle, wo die drei Örter in einem von der Ekliptik verschiedenen größten Kreise liegen. Fallen die drei Örter in die Ekliptik, so ist dagegen nur eine Parabel, gleichwie im allgemeinen Falle im Raume, wie oben dargelegt wurde, vorhanden. Als anderweitiges interessierendes Beispiel für die Diskussion von mehrfachen Lösungen wäre der Komet 1910 a bald im Anfange nach dessen Entdeckung zu nennen.