Über die Verteilungsfunktion in Kugelsternhaufen. (Q1444098)

Die Verteilungsfunktion der Sterne in Kugelsternhaufen wird nach \textit{Charlier} vom Normaltypus \(A\) angenommen, welcher durch die \textit{Gauß}sche Verteilung charakterisiert ist. Diese Idee soll in der vorliegenden Arbeit streng durchgeführt werden. Der \textit{Charlier}sche \(A\)-Typ wird analytisch dadurch charakterisiert, daß\ die Verteilungsfunktion in der durch den Mittelpunkt des Haufens senkrecht zur Blickrichtung (\(z\)-Richtung) gelegten Ebene: \(f(\sqrt{x^2+y^2})\) und die Verteilungsfunktion in einer dickeren Schicht senkrecht zur Blickrichtung: \[ \int_0^t f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})dz,\;0 \leqq t \leqq R, \] durch ein und dasselbe System von normierten orthogonalen Eigenfunktionen \(\varphi_1,\dots,\varphi_N\) nach der Methode der kleinsten Quadrate approximiert werden können. Aus diesem Ansatz ergeben sich für die Funktionen \(f\) und \(\varphi_\nu\) zwei Integralgleichungen, aus denen für die \(\varphi_\nu\) allein eine Gleichung von der Bauart \[ \varphi_\nu(y)=\frac{c_\nu}{2} \int_{y^2}^{y^2+t} \frac{\varphi_\nu(v)dv}{\sqrt{v-y^2}} \] abgeleitet und durch \[ \varphi_\nu(y)=p_\nu e^{k_\nu y^2} \] gelöst wird (\(p_\nu,k_\nu\) reelle Konstanten). Außerdem ist \(N=1\). \(f\) wird nun als Kern der Integralgleichung \[ \varphi(x)=\frac 1a \int_0^R f(\sqrt{x^2+y^2}) \varphi(y)dy \] bestimmt, wobei der Satz bewiesen wird, daß\ eine solche Gleichung, wenn ihr Kern positiv definit ist und nur die eine Eigenfunktion \(e^{Kx^2}\) besitzt, auch keine weiteren Eigenfunktionen hat, und der Kern erhält die Gestalt: \[ f(\sqrt{x^2+y^2})=ce^{K(x^2+y^2)}. \]