Über den Aussagenkalkül in der symbolischen Logik. (Q1444443)

Legt man beim Aufbau des Aussagenkalküls der mathematischen Logik die Grundverknüpfungen von Aussagen: 1. Logisches Produkt der Aussagen \(p\) und \(q\), definiert wie üblich; 2. Logische Summe der Aussagen \(p\) und \(q\), definiert als Aussage, welche richtig bzw. falsch ist, wenn die eine der Aussagen \(p\), \(q\) richtig und die andere falsch ist, bzw. beide Aussagen \(p\), \(q\) gleichzeitig richtig oder falsch sind; und außerdem noch die Symbole 0 und 1, welche eine falsche bzw. richtige Aussage bezeichnen, zugrunde, so erscheint jede Aussagenverbindung als ein arithmetischer Ausdruck, welcher sich allen Regeln der gewöhnlichen Arithmetik und außerdem noch den Regeln: \(p + p = 0\), \(pp = p\) unterwirft. Folglich stimmt das Rechnen mit, solchen Ausdrücken der Form nach mit der Arithmetik der Restklassen modulo 2 überein, und die Frage nach dem logischen Werte einer gegebenen Aussagenverbindung wird in äußerst einfacher Weise aufgelöst. Insbesondere erhalten die Sätze auf den Seiten 100-130 der Principia Mathematica (I) von Whitehead und Russell sozusagen mechanische Beweise.