Aufgabe 35 (gestellt in Jahresbericht D. M. V. 35 (1926), 48 kursiv). Lösung durch N. Obreschkoff. (Q1444718)

Die Aufgabe lautet: Man betrachte die vier Polynome \(P (z)\), \(Q (z)\), \(R (z)\) und \[ S (z) = a_0z^n + a_1z^{n-1} + \cdots a_\nu z^{n-\nu }+ \cdots +a_n. \] \[ \begin{matrix} \r&\quad &\quad &\quad &\quad \l\\ P (z) &\text{hat} &\text{nur} &\text{reelle}&\text{Koeffizienten}, \\ Q (z) &\text{''} &\text{''} &\text{''} &\text{negative Nullstellen}, \\ R (z) &\text{''} &\text{''} &\text{''} &\text{Nullstellen}, \\ S (z) &\text{''} &\text{''} &\text{''} &\text{Nullstellen vom Betrage 1}. \end{matrix} \] Dann hat \[ a_0P(z+ni)+ \cdots + a_\nu P(z+(n-2\nu )i)+ \cdots + a_n P(z -ni) \] nicht mehr imaginäre Nullstellen als \(P(z)\), \[ a_0Q(niz)+ \cdots + a_\nu Q((n-2\nu )iz)+ \cdots + a_n Q(-niz) \] reelle Nullstellen und \[ a_0R(ni)z^n+ \cdots + a_\nu R((n-2\nu )i)z^{n-\nu }+ \cdots + a_n R(-ni) \] nur Nullstellen vom absoluten Betrage 1.