The expression of a tensor or a polyadic as a sum of products. (Q1444735)

Jeder kovariante Tensor \(A_{i_1,\ldots,i_p}\) oder \(\mathbf A\) kann in polyadischer Form (``polyadic form'') als eine Summe einer endlichen Anzahl \(h\) von Tensoren dargestellt werden, deren jeder das Produkt von \(p\) kovarianten Tensoren ist: \[ A_{i_1,\ldots,i_p}=\sum _{j=1}^ha_{1j,i_1}\ldots a_{pj,i_p}. \tag{1} \] Die kontravarianten und gemischten Tensoren können in ähnlicher Weise entwickelt werden. Den Gegenstand der vorliegenden Arbeit bildet die Behandlung des wichtigen Problems der Tensoralgebra, die Bedingungen dafür anzugeben, daß bei vorgeschriebenen \(p\) und \(n\) (Dimensionenzahl des betrachteten Raumes) die Darstellung (1) für ein bestimmtes \(h\) gilt, und ferner \(h\) möglichst klein zu machen. Man kann auch schreiben: \[ A_{i_1,\ldots,i_p}=\sum _{\alpha =1}^n A_{\alpha _1,\ldots,\alpha _p}e_{\alpha _1,i_1}\ldots e_{\alpha _p,i_p}; \tag{2} \] dabei bilden \(e_{1,i_m},\ldots,e_{n,i_m}\) ein System von \(n\) kovarianten Basisvektoren (``basis vectors''), und jede Komponente ist gleich Eins oder Null, je nachdem die beiden Indices gleich oder verschieden sind. Wenn ein gegebener Tensor auf eine gewisse Art als eine Summe von Produkten dargestellt werden kann, so trifft das auch für die Polyadik zu, deren Komponenten in dem zugrunde gelegten Koordinatensystem denjenigen des Tensors im betrachteten Punkte gleich sind, und umgekehrt. Die von dem Verf. betrachteten Polyadiken (vgl. auch die Arbeit des Verf [``A theory of ordered determinants'', Journ. of Math. Massachusetts 4, 205--237 (1925; JFM 51.0088.02)] haben keine Metrik, worin sie sich von denen von Gibbs unterscheiden. Die Polyadik ist einer linearen Transformation fähig, die sich auf einen oder mehrere Indices erstreckt; dabei kann die Substitution sich von Index zu Index ändern. Dagegen werden die kovarianten oder kontravarianten Komponenten eines Tensors in bezug auf jeden Index durch dieselbe Transformation (kovariant oder kontravariant) transformiert. Jede mehrfach invariante Eigenschaft (``multiply invariant property'') einer Polyadik -- eine Eigenschaft, die nach Definition für jeden Index einzeln gegenüber einer Transformation \[ A'_{i_1,\ldots,i_p}=\sum _{\alpha _m=1}^n A_{i_1,\ldots,i_{m-1},\alpha _m,i_{m-1},\ldots,i_p}\,\cdot \,T_{\alpha _m,i_m} \] mit von Null verschiedener Determinante \(\varDelta \) invariant ist -- entspricht einer Tensoreigenschaft, die im Sinne des Tensorkalküls invariant ist. Das Umgekehrte ist dagegen, wegen der Natur der Transformationen eines Tensors, nicht richtig. Die Möglichkeit von mehrfach invarianten Zerlegungen eines Tensors ist mit der Entdeckung gewisser ``Konkomitanten'' verknüpft; so werden der Tensorkalkül, die Theorie der Formen und die höheren Determinanten (``\(p\)-way determinants'') miteinander in Beziehung gesetzt. Verf. definiert den Rang einer Matrix von der Klasse \(p\), indem er sie zunächst in eine zweidimensionale Matrix transformiert. Der Rang ist im Falle \(p = 3\) schon von Hilda Petersen in ihrer Freiburger Dissertation ``Die Bedeutung kubischer Determinanten'' aus dem Jahre 1914 untersucht worden, was dem Verf. entgangen zu sein scheint. Wenn die Indices von \(\mathbf A\), mit Ausnahme von \(i_m\), jeder einen bestimmten Wert haben, so erhält man eine Reihe (``file'') des \(m\). Index, indem man \(i_m\) die Werte \(1, 2,\ldots,n\) durchlaufen läßt. Die \(n^{p-1}\) Reihen des \(m\). Index bilden eine zweidimensionale Matrix \(M_1\) mit \(n\) Zeilen und \(n^{p-1}\) Spalten, die man in der natürlichen Reihenfolge (``natural ordre'') anordnet. Jeder Minor von \(M_1\) heißt ein Minor von \(A_{i_1,\ldots,i_p}\) in bezug auf den \(m\). Index. Der Rang von \(M_1\) im gewöhnlichen Sinne ist der Rang von \(\mathbf A\) in bezug auf den \(m\). Index. Wenn man die Ränge \(k_1,\ldots,k_p\) von \(A_{i_1,\ldots,i_p}\) inbezug auf die einzelnen Indices kennt, so kann man in (1) die Anzahl der Glieder von \(n^p\) auf \(k_1\ldots k_p\) reduzieren: \[ \mathbf A=\sum _{j_1=1}^{k_1}\ldots \sum _{j_p=1}^{k_p} \mathbf a_{1j_1}\ldots \mathbf a_{pj_p}g_{j_1\ldots j_p}; \tag{3} \] dabei bilden die \(g_{j_1\ldots j_p}\) ein System von \(k_1\ldots k_p\) skalaren Koeffizienten. Aber dies reicht noch nicht aus, um \(h\) möglichst klein zu machen. Wenn man statt eines Index deren \(t\) wählt und wenn man eine zweidimensionale Matrix \(M_t\) mit \(n^t\) Zeilen und \(n^{p-t}\) Spalten in der natürlichen Anordnung konstruiert, so heißt der Rang von \(M_t\) der \(t\)-fache Rang (``\(t\)-plex rank'') von \(\mathbf A\) in bezug auf die \(t\) gewählten Indices. Alle Ränge sind mehrfach invariant. Teilt man die \(p\) Indices in n Gruppen mit \(t_1,\ldots,t_\pi \) Indices ein und ersetzt man jede Gruppe durch einen einzigen Index, den Verf. einen ``multipartite index'' nennt, so daß der \(m\). Index \(u_m\) die natürlichen Zahlen von 1 bis \(n^{t_m}\) durchläuft, so erhält man aus (2): \[ A_{i_1,\ldots,i_p}=\sum _{j=1}^hB_{1j,u_1}\ldots B_{\pi j,u_\pi }, \tag{4} \] wobei die \(B\) nun Polyadiken anstatt Vektoren sind. Eine ``Isomere'' \(\mathbf A^{\mathbf \prime}\) von \(\mathbf A\) ist eine neue Polyadik, die durch Permutation der Indices \(i_1,\ldots,i_p\) entsteht. Wenn keiner der \(t\)-fachen Ränge \(k_1,\ldots, k_p\) die Zahl \(k\) überschreitet, so kann man schreiben: \[ \mathbf A^{\mathbf \prime}=\sum _{j_1=1}^k\ldots \sum _{j_\pi =1}^k \mathbf B_{1j_1}\ldots \mathbf B_{\pi j_\pi }g_{j_1\ldots j_\pi }, \tag{5} \] also eine Polyadik in \(k\) statt in \(n\) Dimensionen. Die Formel (4) ist im Falle \(\pi = 2\) von \textit{J. W. Alexander} [``On the decomposition of tensors'', Annals of Math. (2) 27, 421--423 (1926; JFM 52.0781.04)] behandelt worden. Im Falle \(\pi > 2\) reicht die Kenntnis der Ränge in bezug auf die verschiedenen Indexgruppen im allgemeinen nicht aus, um \(h\) in (4) möglichst klein zu machen. Die Reduktion auf weniger als \(k_1\ldots k_p\) Glieder hängt nämlich von mehrfachen Invarianten einer anderen Art ab, die sich als höhere Determinanten darstellen lassen und die vom Verf. in der oben zitierten Arbeit mit \(\mathbf F_k((\mathbf P^q))\) bezeichnet werden, wobei \(\mathbf P\) die Polyadik ist. Diese Größen werden durch den Faltungsprozeß (``folding'') erhalten, der vom Verf. und von \textit{L. H. Rice} [``The multiple complement'', Journ. of Math. Massachusetts 4, 180--187 (1925; JFM 51.0102.10)] herrührt. Dieser Prozeß verbindet die Begriffe des ``multiple indeterminate product'' von Gibbs und des ``space complement'' von \textit{A. Naess} [``On a special polyadic'', Videnskaps. Skrifter, Math., 1922, Nr. 13 (1923; JFM 49.0741.04)]; er ist in der deutschen symbolischen Methode analog der ``Faltung'' von Konkomitanten algebraischer Formen, und die \(\mathbf F_k((\mathbf P^q))\) sind analog den ``Überschiebungen''. Von diesen Größen hängt die Klassifikation der Tensoren und der Polyadiken ab, wenigstens was die Darstellung durch eine Summe von Produkten angeht, Verf. beweist dies zunächst an dem einfachsten Beispiel \([\alpha ]\), bei dem es sich darum handelt, eine Triadik im zweidimensionalen Raum als Summe von zwei Triaden \((\pi =p=3\), \(n = h=2)\) darzustellen. Man hat dann die polyadische Gleichung \[ A_{\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3}\mathbf e_{\alpha _1}\mathbf e_{\alpha _2}\mathbf e_{\alpha _3} = \mathbf a_1\mathbf a_2\mathbf a_3 +\mathbf b_1\mathbf b_2\mathbf b_3 \] aufzulösen, wobei die A acht gegebene Zahlen sind. Diese Gleichung ist mit acht gewöhnlichen Gleichungen äquivalent. Zu diesem Zweck setzt man die beiden Ausdrücke der Kovariante \(\mathbf F_1((\mathbf A^2))\) einander gleich, die durch die beiden Seiten gegeben werden. Der Fall [\(\beta \)] : \(\pi=p=3\), \(h=2\), \(n\) willkürlich, wird auf eine ähnliche Weise behandelt, und zwar auf Grund dieser Eigenschaft: In (1) kann der einfache Rang von \(\mathbf A\) für keinen Index h überschreiten. Die Reduktion [\(\gamma \)] einer Polyadik auf eine Summe von zwei Produkten, deren jedes aus drei Polyadiken niedrigerer Klasse besteht (\(\pi=3\), \(h=2\), \(n\) und \(p\) willkürlich), wird ebenfalls behandelt, indem man in (4) den mehrfachen Rang benutzt. Schließlich noch der Fall [\(\delta \)]: \(\pi=p=4\), \(n = h = 2\) unter Benutzung des mehrfachen Ranges in (1); das Problem ist unlösbar, wenn die Persignante 4. Klasse der Matrix \(\mathbf A\) verschwindet, und wenn alle Ränge gleich 2 sind. Die Fälle [\(\alpha \)] und [\(\delta \)] zeigen deutlich die Rolle der Parität der Klasse der Polyadiken. Der Fall [\(\varepsilon \)]: \(\pi = p = n = h = 3\) wird mit Hilfe einer kubischen Determinante, mit Hilfe von Funktionaldeterminanten und Hesseschen Determinanten diskutiert. Die weitere Untersuchung des Problems erfordert eine Verallgemeinerung des Rangbegriffes, die sich auf das Verschwinden der Minoren \(k\). statt 2. Klasse aus der Matrix \(\mathbf A\) selber stützt.