Über die reellen Kollineationsgruppen, die der symmetrischen oder der alternierenden Gruppe isomorph sind. (Q1444795)

\(\mathfrak G_n\) bezeichne die symmetrische Gruppe in \(n\) Permutationssymbolen. Der Verf. hat früher [J. Reine Angew. Math. 139, 155--250 (1911; JFM 42.0154.02)] gezeigt, daß jeder Zerlegung von \(n\) in positive ganzzahlige Summanden \(n = \nu_1+\nu_2+\cdots+\nu_m\), (\(\nu_1>\nu_2>\cdots>\nu_m>0\)), eineindeutig eine mit \(\mathfrak G_n\) isomorphe irreduzible Kollineationsgruppe \(\mathfrak K_{\nu_1,\nu_2,\dots \nu_m}\) zugeordnet ist, die sich für \(n>3\) nicht als Darstellung von \(\mathfrak S_n\) durch lineare Substitutionen auffassen läßt. Hier wird gezeigt, daß man \(\mathfrak K_{\nu_1,\nu_2,\dots,\nu_m}\) dann und nur dann reell wählen kann, wenn \(n-m\equiv 0, 1, 2, 6, 7 \pmod 8\) ist. In ähnlicher Weise kann man auch bei den Darstellungen der alternierenden Permutationsgruppe durch Kollineationen angeben, ob sie sich reell schreiben lassen oder nicht.