Die Axiome der zweigliedrigen Gruppen. (Q1444796)

Das Ziel der Arbeit ist eine rein gruppentheoretische, ohne alle analytischen Hilfsmittel erfolgende Kennzeichnung der Lieschen zweigliedrigen Gruppen. Unter einer zweigliederigen Gruppe wird eine Gruppe im Sinne der abstrakten Gruppentheorie verstanden, in der gewisse Untergruppen, die ``eingliedrige Untergruppen'' genannt werden, ausgezeichnet sind. Von diesen eingliedrigen Untergruppen wird u. a. gefordert, daß sie kommutativ sein und außer dem Einheitselement kein gemeinsames Element haben sollen. Es kommen dann noch Forderungen bezüglich der ganzen Gruppe hinzu, die ungefähr aussagen, daß die Gruppe nicht zu wenig und nicht zu viel eingliedrige Untergruppen enthalten soll. Aus der angedeuteten axiomatischen Definition wird sodann gefolgert, daß es zwei Typen von zweigliedrigen Gruppen gibt. Die einen Gruppen sind kommutativ. Die andern Gruppen erhält man aus der Gruppe der Strekkungen in der Ebene, deren Fixpunkte auf einer festen Geraden liegen, dadurch, daß man in den die Streckungen darstellenden Formeln die reellen Zahlen durch Elemente eines beliebigen Körpers ersetzt. Bezeichnet man die Elemente einer zweigliedrigen Gruppe als ``Punkte'', die eingliedrigen Untergruppen und ihre Nebengruppen als ``Geraden'', die Multiplikation mit einem Gruppenelement als ``Bewegung'', so erhält man eine ``ebene Geometrie''. Sie läßt sich durch Schnittpunktseigenschaften ihrer Geraden kennzeichnen. (Siehe auch Abschn. IV, Kap. 8.)