Die Verwandtschaft stetiger Gruppen im Großen. (Q1444798)

Es werden topologisierte Gruppen \(\mathfrak G\) betrachtet, d, h. solche, in denen ein Umgebungsbegriff definiert ist -- und zwar auf solche Weise, daß die für die Gruppe kennzeichnenden Operationen \(ab\) und \(a^{-1}\) (\(a\), \(b\) Elemente von \(\mathfrak G\)) als stetige Funktionen (von \(a\), \(b\) bzw. \(a\)) erscheinen. Es erhebt sich die Frage: wenn zwei solche Gruppen \(\mathfrak G\), \(\mathfrak G'\) im Kleinen -- d. h. in je einer geeignet gewählten Umgebung der Einheit -- isomorph sind, was ist dann ihr Verhalten im Großen? Dabei wird unter Isomorphie eine eineindeutige Abbildung verstanden, der gegenüber nicht nur die Operation \(ab\) invariant ist, sondern die auch im Sinne der Topologisierungen von \(\mathfrak G\), \(\mathfrak G'\) stetig ist. Das diese Frage allgemein und befriedigend beantwortende Haupt-Resultat des Verf. lautet: Es gibt unter allen mit \(\mathfrak G\) im Kleinen isomorphen \(\mathfrak G'\) eine größte, \(\mathfrak g\), derart, daß jedes \(\mathfrak G'\) einem Normalteiler von \(\mathfrak g\) isomorph ist. \(\mathfrak g\) wird in naheliegender Analogie zur Flächen-Topologie als Überlagerungsgruppe von \(\mathfrak G\) bezeichnet. Gewisse Annahmen über die Topologie in \(\mathfrak G\) sind immerhin erforderlich (\(\alpha. - \delta.\), S. 235, 238, 241), unter diesen ist hervorzuheben \(\delta.\), das u. a. verlangt: Jeder Weg (d. h. jedes stetige Kreisbild), der in einer hinreichend kleinen Umgebung der Einheit liegt, kann auf einen Punkt zusammengezogen werden. (IV 8.)