Neue elementare Begründung und Erweiterung der Galoisschen Theorie. (Q1444805)

Der erste Teil der Arbeit ist in den Sitzungsberichten Heidelberg 1925 (F. d. M. 51) erschienen. In der vorliegenden Arbeit wird im Anschluß an die vorstehend referierte Arbeit des Verf. zunächst der Hyperisomorphismus einer endlichen Mischgruppe \(\mathfrak T^*\) mit einer Quotientenmischgruppe definiert; es wird dazu gefordert, daß beide Systeme gleich viele Elemente enthalten, und daß der Kern von \(\mathfrak T^*\) eine zum Kern von \(\|\mathfrak T|\mathfrak U\|\) isomorphe Untergruppe enthält. \(\mathfrak S\) sei jetzt das Transmutationssystem der Dirigenten \(\varrho_1,\ldots,\varrho_k\) des Körpers \((P,\varrho_1,\ldots,\varrho_k)\); \(\sigma_1,\ldots,\sigma_l\) seien rationale Funktionen von \(\varrho_1,\ldots,\varrho_k\) mit Koeffizienten aus \(P\) für die die Gesamtheit der Transmutationen von \(\mathfrak S\), die alle \(\sigma_1,\ldots,\sigma_l\) ungeändert lassen eine Untergruppe \(\mathfrak S_a\) der maximalen automorphen Untergruppe von \(\mathfrak S\) bildet. Dann ist das Transmutationssystem \(\varSigma\) der Dirigenten \(\sigma_1,\ldots,\sigma_l\) des Körpers \((P,\sigma_1,\ldots,\sigma_l)\) hyperisomorph zu \(\|\mathfrak S|\mathfrak S_a\|\), in speziellen Fällen besteht Isomorphismus. Daraus folgt daß das Transmutationssystem eines Körpers unabhängig von der Wahl der Dirigenten ist, wenn isomorphe Transmutationssysteme als nicht verschieden gelten. Ist \(\sigma_l\) eine primitive Größe des Körpers, so verteilen sich die Wurzeln der irreduziblen Gleichung, der \(\sigma_l\) in \(P\) genügt, infolge dessen auf \(p\) Gruppen von je \(n\) Größen. Jede Größe einer Gruppe läßt sich rational durch jede andere derselben Gruppe mit Koeffizienten aus \(P\) ausdrücken, aber niemals durch eine Größe einer anderen Gruppe; \(n\) ist dabei die Ordnung des Kerns des Transmutationssystems. Sind alle Transmutationen eines Körpers automorph, so ist der Körper ein Galoisscher Körper; seine primitiven Funktionen genügen Galois'schen Gleichungen. Es gehört hier umgekehrt zu jedem System \(\sigma_1,\ldots,\sigma_l\) von rationalen Funktionen von \(\varrho_1,\ldots,\varrho_k\) mit Koeffizienten aus \(P\) eine Untergruppe \(\mathfrak S_a\) von \(\mathfrak S\); in den alten Bezeichnungen ist \(\varSigma\) isomorph zu \(\|\mathfrak S|\mathfrak S_a\|\). Ferner wird der Galoissche Oberkörper eines beliebigen Körpers \((P,\varrho_1,\ldots,\varrho_k)\); definiert; ist \(\mathfrak P\) sein Transmutationssystem und \(\mathfrak P_{\rho_1,\ldots,\rho_k}\) die Untergruppe, bei der \(\varrho_1,\ldots,\varrho_k\) einzeln ungeändert bleiben, so ist das Transmutationssystem von \((P,\varrho_1,\ldots,\varrho_k)\) isomorph zu \(\|\mathfrak P|\mathfrak P_{\rho_1,\ldots,\rho_k} \|\). Die imprimitiven Gleichungen werden im wesentlichen in der üblichen Weise eingeführt; charakteristisch für eine imprimitive Gleichung des Grades \(n\) ist es, daß man aus ihren Wurzeln \(l\), (\(1 < l < n\)), herausgreifen kann, die Dirigenten eines imprimitiven \(P\)-Transmutationssystems sind. Darunter wird ein System verstanden, das eine transitive Permutationsgruppe von \(l\) Größen \(\alpha_1,\ldots,\alpha_l\) und außerdem noch \(t-1\) Elemente enthält, durch die die \(l\) Größen in jeweils \(l\) neue Größen übergeführt werden. Ist \(1<l<t \cdot l\), so heißt das \(P\)-Transmutationssystem imprimitiv. Die Arbeit schließt mit der Definition und Untersuchung der primitiven und der imprimitiven Körper.