Zur Theorie der Ordnungen in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern. (Q1444815)

In dieser Arbeit werden eine Reihe von Begriffen, die bisher nur für die Hauptordnung (eines Zahl- oder Funktionenkörpers) entwickelt waren, auf beliebige Ordnungen übertragen. Vor allem wird eine Theorie des Grades und der Norm von Idealen gegeben, und zwar die Gradtheorie in bezug auf eine beliebige Unterordnung, die Normtheorie in bezug auf jede Hauptordnung als Unterordnung. Damit ist zugleich die Theorie der ``Relativnormen'' allgemein entwickelt, eine Theorie, deren erste Sätze auf viel komplizierterem Weg von Dedekind aufgestellt waren (Nachr. Gött. 1895). Die Norm eines beliebigen Ideals wird gleich dem Produkt der Normen seiner primären Komponenten; die Norm eines Primärideals gleich der \(\lambda\)-ten Potenz der Norm des zugehörigen Primideals, wo \(\lambda\) die Länge bezeichnet (Länge einer zugeordneten Kompositionsreihe aus Idealen). Die Theorie der Relativordnungen erledigt sich durch Übergang zum Quotientenring ganz entsprechend wie die der Ordnungen in bezug auf Hauptidealringe. Es werden noch eine Reihe weiterer Sätze für Ordnungen entwickelt. So wird gezeigt, daß alle (und nur) die Primideale einer Ordnung, die im Führer aufgehen, ``allgemein'' sind, d. h. unter ihren zugehörigen Primäridealen notwendig solche enthalten, die nicht Primidealpotenzen sind. Weiter wird die Dedekindsche Charakterisierung der Ideale, die Führer einer Ordnung sein können, auch auf den Fall ausgedehnt, in dem keine der beiden Ordnungen Hauptordnung ist; und es wird die Äquivalenz der Dedekindschen Bedingung mit der Furtwänglerschen nachgewiesen. Schließlich wird noch ein von v. d. Waerden gefundener Multiplizitätssatz, den dieser schon als Satz über Ordnungen in Funktionenkörpern deuten konnte, zu einem ganz allgemeinen Kompositionsreihensatz erweitert. (II 7.)