The four square theorem. (Q1444915)

Für die bekannte Darstellbarkeit jeder natürlichen Zahl als Summe von vier oder weniger Quadraten wird ein mit dem Begriff des Punktgitters operierender Beweis gegeben. Es genügt, den Satz für Primzahlen \(p\) zu beweisen; der Fall \(p = 2\) ist trivial. Verf. führt die Fälle \(p = 4n + 1\) und \(p = 4n + 3\) getrennt durch. Im ersteren Fall ergibt sich der Beweis so: Ist \(a\) eine der Kongruenz \(a^2 + 1 \equiv 0 \pmod{p}\) genügende ganze Zahl, so bilden die Lösungen der Kongruenzen \[ ax \equiv y \quad \text{ oder } \quad ay \equiv - x \pmod{p}, \] wenn sie als rechtwinklige Koordinaten gedeutet werden, ein Gitter, dessen Zelle den Inhalt \(p\) besitzt. Daraus ergibt sich die Darstellung von \(p\) in der Form \(p = \xi^2 + \eta^2\), wobei \(\xi\), \(\eta\) die Koordinaten eines dem Nullpunkt nächsten Gitterpunktes bedeuten. Im letzteren Fall geht Verf. von zwei der Kongruenz \(a^2 + b^2 + 1 \equiv 0 \pmod{p}\) genügenden ganzen Zahlen \(a\), \(b\) aus. Die Lösungen \(x\), \(y\), \(z\), \(w\) der Kongruenz \[ (a + bi) (x + yi) - (z + wi) \equiv 0 \pmod{p} \] bilden ein vierdimensionales Gitter, dessen Zelle den Inhalt \(p^2\) hat. Daraus ergibt sich analog wie im vorigen Fall die Darstellung \[ p = \xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 + \omega^2. \]