Die Exponentialdarstellung der rationalen Zahlen für den Bereich einer Primzahl. (Q1444957)

Für die rationalen Zahlen läßt sich, wie Verf. in seiner ``Zahlentheorie'' gezeigt hat, eine multiplikative \(p\)-adische Darstellung aus ihrer additiven Darstellung mit Hilfe der Exponentialfunktion \(e^v\) mit \(p\)-adischen Exponenten herleiten. In der vorliegenden Note zeigt Verf., daß man dasselbe durch die Definition der Potenz \((1 + p)^x\) im Bereich der \(p\)-adischen Zahlen erreichen kann; für eine beliebige reelle Primzahl \(p\) und eine beliebige ganze \(p\)-adische Zahl \(\gamma\) wird \[ (1+p)^\gamma = 1 + (\gamma_1)p + (\gamma_2)p^2 + \cdots \] gesetzt, wobei der Binomialkoeffizient \((\gamma_{\nu})\) wie üblich zu bilden ist und sich als ganze \(p\)-adische Zahl ergibt.