Über einen asymptotischen Ausdruck für die Summe der gebrochenen Teile einer Funktion zweier Argumente. (Q1445010)

In dieser Arbeit wird der folgende allgemeine Satz bewiesen: Es sei das Gebiet \(\varOmega\) der Veränderlichen \(x\) und \(y\) durch eine solche Linie begrenzt, daß eine beliebige der Koordinatenachse parallele Gerade das Gebiet \(\varOmega\) höchstens in zwei Teile zerschneidet. Ferner erfüllt die Funktion \(F (x, y)\) in \(\varOmega\) die Bedingungen: \[ \frac 1A \leqq F_{xx}(x, y) \leqq \frac kA, \quad \frac 1B \leqq F_{yy}(x, y) \leqq \frac lB, \quad \left|F^{\prime\prime}(x, y)\right| \leqq \delta\sqrt{F_{xx}(x, y) F_{yy}(x, y)}, \] dabei sind \(A\) und \(B\) Größen, welche \(\geqq C\) sind, und welche bei der Veränderung des Gebietes \(\varOmega\) und bei geeigneter Wahl der Funktion \(F(x, y)\) beliebig große Werte annehmen können. Für die Punkte des Gebietes bestehen die Ungleichungen: \[ \text{Max }|x_1 - x_2| < g A, \quad \text{ Max }|y_1 - y_2| < hB. \] Die Zahlen \(C\), \(k\), \(l\), \(s\), \(g\), \(h\) sind absolute Konstanten, und es ist \[ s < \text{ Min }\left(1, \frac{1}{\root\uproot 3 4\of{kl}}\right). \] Unter diesen Bedingungen gilt die Formel: \[ \sum\sum\{F(x, y)\} = \frac 12 \varPi + O(A^{\tfrac 34} B^{\tfrac 34} \log^{\tfrac 32} (AB). \] Hier ist \(\{z\} = z - [z]\), und die Summation ist erstreckt über alle Gitterpunkte in \(\varOmega\), deren Anzahl \(\varPi\) ist. Wenn überdies die untere Grenze der Zahlen: \[ \frac{A^3}{B}(\log AB)^6 \quad \text{ und } \quad \frac{B^3}{A}(\log AB)^6 \] positiv ist, so kann man in der Endformel anstatt der Größe \(\varPi\) den Flächeninhalt \(\varOmega\) substituieren. Alles wird durch Anwendung einer trigonometrischen Reihe erhalten. Der Beweis ist im ganzen verhältnismäßig einfach und elementar.