Mathematische Miszellen IX: Notiz zur Theorie der Diophantischen Approximationen. (Q1445026)

Es wird eine Verallgemeinerung des Satzes von E. Hecke gegeben, die lautet: Ist \(\alpha\) eine reelle Irrationalität, \(I\) ein Teilintervall des Intervalles \((0, 1)\) von der Länge \(R(\nu\alpha)\), wo \(\nu \gtrless 0\) ganz ist, so ist für alle ganzen \(x > 0\) \[ |N(I, x, \alpha) - R(\nu\alpha) \cdot x| < |\nu|; \] dabei bedeutet \(N(I, x, \alpha)\) die Anzahl derjenigen unter den \([x]\) Zahlen \[ R (\alpha), R (2\alpha), \cdots, R ([x] \alpha), \] die in dem vorgegebenen Intervall \(I\) liegen. \(R (\nu\alpha)\) wird durch die folgenden Relationen definiert: \[ 0 \leqq R(\nu\alpha) < 1, \quad \nu\alpha - R (\nu\alpha) = \text{ ganz}. \] Der Beweis beruht auf der Betrachtung des Ausdruckes \[ \varphi_\xi (x) = \sum_{n=1}^{x+\nu} R(n\alpha + \xi) \sum_{n=1}^x R(n\alpha + \xi) - \sum_{n=1}^\nu R(n\alpha + \xi) \] mit ganzem \(x\), wo \(\xi\) die Distanz des Endpunktes von \(I\) vom Punkte 1 ist. Dieser Ansatz ist insofern neu, als er im Gegensatz zu dem Ansatz von Hecke den Parameter \(\xi\) enthält.