Über einige Eigenschaften transzendenter Zahlen erster Klasse. (Q1445031)

Die Zahl \(\xi\) mit den rationalen Näherungswerten \(\dfrac pq\) läßt sich nicht algebraisch durch \(e^{x_1}, \dots, e^{x_n}\), wobei die \(x_j\) algebraische Zahlen sind, darstellen, wenn man zu jedem Wert von \(v\) ein \(q\) so angeben kann, daß \[ \left| \xi - \frac pq\right| < \frac{1}{q^v!} \tag{1} \] ist. Dieses Resultat läßt sich verallgemeinern, wenn man annimmt, daß die Näherungswerte Lösungen einer Folge von algebraischen Gleichungen \[ b_0^{(j)} y^n + b_1^{(j)}y^{n-1} + \cdots + b_n^{(j)} = 0 \tag{2} \] sind. Dabei wächst \(\sigma = \sum\limits_{k=1}^\infty \left|b_k^{(j)}\right|\) mit \(j\), und es ist \(\left|\dfrac{b_k^{(j)}}{b_0^{(j)}}\right| < E\), wo \(E\) von \(j\) unabhängig ist. Die Formel (1) ist zu ersetzen durch \[ |\xi - y^{(j)}| < \frac{1}{\sigma^v!}. \tag{3} \] Die Zahl läßt sich nicht als algebraische Funktion des Logarithmus einer algebraischen Zahl darstellen, wenn in demselben Sinne die Ungleichung (1) besteht, und dieses Resultat läßt sich ebenfalls verallgemeinern, wenn man \(\dfrac pq\) durch die Wurzeln der algebraischen Gleichungen (2) ersetzt. Die Ungleichung (3) ist zugleich die hinreichende Bedingung dafür, daß \(\xi\) nicht durch eine transzendente Gleichung von der Form \[ A[e^{\alpha_1(\xi)}, e^{\alpha_2(\xi)}, \dots, e^{x_1}, e^{x_2}, \dots, \xi] = 0 \] definiert ist, wobei \(A\), \(\alpha_1(\xi)\), \(\alpha_2(\xi)\), \dots algebraische Funktionen und \(x_1\), \(x_2\), \dots, \(x_n\) algebraische Zahlen sind.