A class of transcendental numbers. (Q1445032)

Beweis des folgenden Satzes: Es sei \(\sum a_n x^n\) eine Potenzreihe, welche Singularitäten nur innerhalb des Kreises mit dem Mittelpunkt 1 und dem Radius \(\dfrac{1}{K-1}\), \(K=\) ganze Zahl, und welche im Innern des Kreises, aber nicht im Mittelpunkt, mindestens eine wesentliche Singularität besitzt. Wenn sich zu einer Zahl \(\zeta\) eine ganze Zahl \(K^\prime < \zeta\) so angeben läßt, daß die Zahlen \[ K^{\prime n}\left(a_n + \frac{1}{\zeta^{n+1}}\right), \quad n = 1, 2, \dots, \] sämtlich ganz sind, dann ist \(\zeta\) eine transzendente Zahl. Der Beweis operiert mit dem folgenden, vom Verf. an anderer Stelle bewiesenen Satz: Wenn die Funktion \(f(x) = \sum b_n x^n\) Singularitäten nur innerhalb des Kreises mit dem Mittelpunkt 1 und dem Radius \(\dfrac{1}{K_1 - 1}\), \(K_1 =\) ganze Zahl, besitzt, und wenn die Zahlen \[ b_n K_1^n, \quad n = 1, 2, \dots, \] sämtlich ganz sind, dann hat \(f(x)\) die Form \[ f(x) = \frac{P(x)}{(1 - x)^h}, \] in der \(P(x)\) ein Polynom und \(h\) eine ganze Zahl bedeutet.