Sur quelques propriétés des ensembles projectifs. (Q1445054)

Wenn \(E\) irgendeine Mengenklasse ist, deren Elemente Mengen des \(R^m\) sind, so soll \(CE\) die Klasse der zu den Mengen \(E\) im \(R^m\) komplementären Mengen bedeuten, während \(PE\) die Klasse derjenigen Mengen ist, die aus den \(E\) durch Projektion in einen \(R^{m-1}\) gewonnen werden. Ausgehend von den abgeschlossenen Mengen \(F\) definiert man mittels Induktion die Mengenklassen \(P_n\) und \(C_n\) (wobei \(P_0\) bezw. \(C_0\) für \(PF\) bezw. \(CPF\) gesetzt ist). Verf. formuliert ohne Beweis eine Reihe von Eigenschaften der so definierten Mengenklassen, u. a. die folgenden: Es existieren für jedes \(n\) Mengen, die zur Klasse \(C_n\) bezw. \(P_n\) und zu keiner niedrigeren Klasse gehören; die soeben definierten Mengenklassen sind topologisch invariant; die höchstens abzählbare Summen- und Durchschnittbildung fuhrt nicht aus einer gegebenen Klasse hinaus; jede \(P_n\) und jede \(C_n\)-Menge ist gleichzeitig eine \(C_{n+1}\) und eine \(P_{n+1}\)-Menge; es existiert für jedes \(n\) eine lineare Menge \(H_n\) von der Klasse \(C_{n-1}\) mit der Eigenschaft, daß sämtliche \(P_n\)-Mengen (des \(R^m\)) und nur diese stetige Bilder von \(H_n\) sind. (Siehe auch Abschn. V, Kap. 2.)