Sur la densité des ensembles plans. (Q1445074)

Es sei \(E\) eine ebene Menge, \(p\) ein beliebiger Punkt der Ebene, der \(E\) angehört, \(K(p, r)\) der Kreis vom Radius \(r\) um \(p\), \(I(p, r)\) das Carathéodorysche äußere Längenmaß der in \(K(p, r)\) enthaltenen Teilmenge von \(E\). Sodann heißt \[ \bar{d}_e (E, p) = \lim_{\overline{r=0}} \frac {I(p, r)}{2r} \] die (äußere obere lineare) Dichte von \(E\) in \(p\). In einzelnen Punkten kann sie beliebig groß (sogar unendlich) sein. Dagegen beweist der Verf. den Satz I: Wenn das Carathéodorysche (äußere) Längenmaß von \(E\) endlich ist, so kann \(\bar{d}_e (E, p)\) höchstens in einer Menge vom (äußeren) Längenmaß 0 größer als \(\dfrac 12\) sein. Ein Gegenstück dazu bildet: Satz II: \(\bar{d}_e (E, p)\) kann höchstens in einer Menge vom äußeren Längenmaß 0 kleiner als \(\frac 12\) sein. Verf. zeigt mit Hilfe von Beispielen, daß diese Resultate im allgemeinen nicht verschärft werden können. Die Gesamtheit dieser beiden Sätze kann als das Analogon des bekannten Lebesgueschen Satzes über die Verteilung der metrischen Verdichtungspunkte (points de densité) für den Fall des Carathéodoryschen Längenmaßes aufgefaßt werden.