Über Reihen mit lauter positiven Gliedern. (Q1445106)

Es handelt sich um folgende drei Sätze: Sind die Zahlen \(a_1, a_2, \cdots \geqq 0\) und ist \(0 < \sum a_n< + \infty\), so ist für \(0 < p < 1\) a) \(\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\dfrac{a_1^p+ \cdots +a_n^p}{n}\right)^{\frac 1p}<(1-p)^{-\frac 1p}\cdot \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) (Hardy), b) \(\sum\limits_{n=1}^\infty \root{n}\of{a_1\cdot a_2\cdots a_n}<e\cdot \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) (Carleman), c) \(\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\dfrac{a_n^p}n+ \dfrac{a_{n+1}^p}{n+1}+ \cdots \right)^{\frac 1p}<p^{-\frac 1p}\cdot \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) (Copson). \noindent Hierbei sind die Konstanten rechts ``die besten''. Für b) hatte Pólya (Proceedings L. M. S. 24, 1926) einen besonders einfachen Beweis angegeben. In der vorliegenden Note wird gezeigt, daß der Pólyasche Kunstgriff auch zu einem einfachen Beweise von a) und c) verwertet werden kann. An diese Note schließt sich eine gleichbetitelte von Knopp (Journal L. M. S. 3 (1928), 205-211 ; F. d. M. 54), in der die Beweise weiterhin vereinfacht und die Sätze verallgemeinert werden.