A generalization of recurrents. (Q1445131)

Sind \(f(x)= \sum a_n x^n\) und \(g(x)=\sum b_n x^n\) beliebige Potenzreihen \((b_0\neq 0)\), so lassen sich die Entwickelungskoeffizienten von \(f(x)/g(x)\), \(\log f(x)\) und \(e^{f(x)}\) in Form von ziemlich einfach gebauten Determinanten (recurrents) darstellen, die oft und eingehend untersucht worden sind. Dagegen scheint das entsprechende Problem für Potenzreihen in zwei und mehr Veränderlichen noch nicht behandelt worden zu sein. Verf. führt nun für den Quotienten zweier Potenzreihen in zwei Veränderlichen die Darstellung der Entwicklungskoeffizienten durch Determinanten genau durch und skizziert die Methode für den Fall mehrerer Veränderlicher. Die Gewinnung des Entwicklungskoeffizienten des Logarithmus \(\log f(x,y)\) und der Exponentialfunktion \(e^{f(x,y)}\) einer Potenzreihe \(f(x, y)=\sum a_{nm}x^n y^m\) läßt sich in einfachster Weise (im Falle des log mit Hilfe des Operators \(x\dfrac{\partial}{\partial x}+y\dfrac{\partial}{\partial y}\)) auf die des Quotienten zweier solcher Potenzreihen zurückführen.